计算所有结构不同的二叉树的数量的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What would be the time complexity of counting the number of all structurally different binary trees?计算所有结构不同的二叉树的数量的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2010-03-29 02:23:14
【问题描述】：

使用这里介绍的方法：http://cslibrary.stanford.edu/110/BinaryTrees.html#java

12. countTrees() 解决方案（Java） /** 对于键值 1...numKeys，有多少结构上唯一存储这些键的二叉搜索树是可能的吗？策略：认为每个值都可能是根。递归查找左右子树的大小。 */ 公共静态int countTrees（int numKeys）{ 如果（numKeys

我感觉可能是n(n-1)(n-2)...1，即n！

如果使用memoizer，复杂度是O(n)吗？

【问题讨论】：

标签： binary-tree complexity-theory memoization catalan

【解决方案1】：

节点数为 n 的完整二叉树的数量是第 n 个加泰罗尼亚数。加泰罗尼亚数字计算为

复杂度为 O(n)。

http://mathworld.wolfram.com/BinaryTree.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number#Applications_in_combinatorics

【讨论】：

【解决方案2】：

计算此算法使用的countTrees 的调用次数很容易给定的节点数。经过几次试运行后，在我看来它需要 5*3^(n-2) 次调用 n >= 2，它的增长速度比 n! 慢得多。这个断言的证明留给读者作为练习。 :-)

按照您的建议，记忆化版本需要 O(n) 次调用。

顺便说一句，具有 n 个节点的二叉树的数量等于第 n 个Catalan number。计算 C_n 的明显方法似乎都在 n 中是线性的，因此 countTrees 的记忆化实现可能是最好的方法。

【讨论】：

【解决方案3】：

不确定记忆化版本会在查找表中命中多少次（这绝对是超线性的，并且会产生函数调用的开销），但数学证明产生的结果是相同的作为第 n 个加泰罗尼亚数，我们可以快速设计出一种线性时间表格法：

    int C=1;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        C = (2*(2*(i-1)+1)*C/((i-1)+2));
    }
    return C;

注意记忆和制表的区别here

【讨论】：