构建二叉搜索树的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What is the time complexity of constructing a binary search tree?构建二叉搜索树的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2020-03-25 20:09:14
【问题描述】：

“对 n 个元素进行排序的每个基于比较的算法在最坏的情况下都必须进行 Ω(nlogn) 次比较。有了这个事实，构造一个 n 节点二叉搜索树的复杂度是多少？为什么？”

基于这个问题，我认为构造复杂度必须至少为 O(nlogn)。也就是说，我似乎无法弄清楚如何找到构造的总复杂性。

【问题讨论】：

我认为这个问题更适合cstheory.stackexchange.com
当然，这取决于您是否正在努力保持树的平衡（例如，AVL、RedBlack、Splay、随机二叉搜索树）。 O(n log(n)) 是 AVL 和 RedBlack 的最坏情况，随机 BST 的平均情况和 Splay 的摊销情况。如果排序是您的目标，那么堆优先于 BST，它给出 O(n log(n))。
@Daniele 如果树是不平衡的（例如，键是按顺序插入的），那么每次插入都是 O(n)，结果是 O(n^2)总计。
@EduardoPascualAseff 可能是 cs.stackexchange.com 而不是 cstheory.stackexchange.com。

【解决方案1】：

问题的标题和您引用的文字提出了不同的问题。我将解释引用的内容，因为仅通过查看算法就可以找到 BST 构造的成本。

假设有可能在一秒钟内构造一个比 Ω(nlogn) 更好的 BST。使用二叉搜索树，您可以在 Θ(n) 时间内读出排序列表。这意味着我可以创建如下排序算法。

Algorithm sort(L) 
  B <- buildBST(L)
  Sorted <- inOrderTraversal(B)
  return Sorted

使用此算法，我将能够以比 Ω(nlogn) 更好的方式对列表进行排序。但正如你所说，这是不可能的，因为 Ω(nlogn) 是一个下限。因此不可能在 Ω(nlogn) 时间内创建一个二叉搜索树。

此外，由于算法退出以在 O(nlogn) 时间内创建 BST，您实际上可以说该算法在基于比较的模型下是最优的

【讨论】：

【解决方案2】：

BST 的构造将是O(n(log(n)))。
您将需要插入每个节点，这是一个 O(n) 操作。
要插入 n 节点，您至少需要进行 O(log(n)) 比较。
因此，最小值将是 O(n(log(n)))。
只有在数组已经排序的最佳情况下，时间复杂度才会是O(n)

【讨论】：

实际上，要插入每个节点，您需要最多 O(log(n)) 个比较。排序数组不会为您提供 O(n) BST 创建。仍然有很多情况需要 O(log n) 比较才能找到正确的插入点。