将 K 共面点旋转到平行于 x,y 平面的平面

Question

我正在使用 3D 几何图形使用 php（我知道这不是最佳选择...）。 我有 K 个共面 3D 点，也有 x、y、z 值。它们一起形成一个多边形。我需要对这个多边形进行三角测量。我已经有一个适用于 2D 多边形的工作 delaunay 训练函数。 所以我想旋转给定的点，使它们位于平行于 x,y 平面的平面上。之后，我可以使用 x,y 值对其进行三角测量。下面的伪代码将描述我想如何达到这个目标。

我在此基础上构建了以下代码（我使用了从 OP 接受的答案）：https://math.stackexchange.com/questions/180418/calculate-rotation-matrix-to-align-vector-a-to-vector-b-in-3d，但它没有按我的预期工作。为了知道它是否有效，每个映射点都应具有相同的“z”值。 这是一个问题，我如何获得正确的旋转矩阵？还是我犯了概念上的错误？

function matrixRotationMapping(Point $p, Point $q, Point $r)
        {
            $normalPolygon =calculatePlaneNormal($p, $q, $r);
            $v = crossProduct($normalPolygon, new Point(0, 0, 1));
            $c = dotProduct($normalPolygon, new Point(0, 0, 1));
            $matrix = buildRotationMatrix($v, $c);    
            return $matrix;
        }    
    
function buildRotationMatrix($v, $c)
        {
            $R2 = new Matrix(array(array(1, -$v->z, $v->y), array($v->z, 1, -$v->x), array(-$v->y, $v->x, 1)));
            $costant = 1/(1+$c);
            $R3 = multiplyMatrices($R2, $R2);
            $R3 = multiplyMatricesWithFactor($R3, $costant);
            $finalMatrix = sumMatrices($R2, $R3);
            return $finalMatrix;
        }
                            
function calc2DMapping($points)
        {
             $rotationMatrix = matrixRotationMapping($points[0], $points[1], $points[2]);
             foreach($points as $point)
                {
                    $mappedPoint = $rotationMatrix->multiplyWithPoint($point);              
                    $mappedPoints[] = new MappedPoint($mappedPoint);
                }       
        }

我找到了另一个有用的问题描述，但我无法实现它：Mapping coordinates from plane given by normal vector to XY plane

提前感谢您的关注。

Answer 1

您首先需要基向量X,Y,Z。因此，首先从您的数据集中取中点A 和两个较远的点B,C（不是单行）。 X,Y 应该在平面上，Z 应该是正常的，所以：

X = B-A     // any non zero vector inside plane
X = X / |X| // unit in size

Y = C-A     // any non zero vector inside plane
(X.Y) != 0  // but not parallel to X !!!
Y = Y / |Y| // unit in size

计算点所在平面的法线并校正 Y 轴。

Z = X x Y   // cross product gives you perpendicular vector
Y = Z x X   // now all vectors are perpendicular and unit

因此，将这 3 个向量输入到您的 transform matrix 的旋转部分，并将原点设置为 A。但是，当您需要从数据集转到平面局部坐标时，您需要逆矩阵（或使用基于转置的伪逆）

不管怎样，现在有了基向量，您可以像这样参数化地映射您的平面：

P(u,v) = A + u*X + v*Y

其中u,v = <-inf,+inf> 是从 A 在X,Y 方向上的表面距离。这有时会派上用场。如果您需要从P 计算u,v，则利用点积：

u = ((P-A).X) = dot(P-A,X)
v = ((P-A).Y) = dot(P-A,Y)

这也可以用来转换为2D而不是使用矩阵...