非二分图中最大权重完美匹配的良好近似算法？答案

【问题标题】：A good approximation algorithm for the maximum weight perfect match in non-bipartite graphs?非二分图中最大权重完美匹配的良好近似算法？
【发布时间】：2011-07-09 09:37:47
【问题描述】：

Drake 和 Hougardy 为最大加权匹配问题找到了一种简单的近似算法。我认为我对学术论文的理解超出了我的能力，所以我正在寻找一个在 php、c、javascript 中更可取的简单实现？

【问题讨论】：

Drake-Hougardy 算法是一个近似值；它提供了一个很好但可能不是最好的解决方案。你想解释一下这两种算法吗？
@epitaph：主题行要求“最小重量完美匹配”，但the Drake-Hougardy algorithm 只承诺最大重量近似值。您是否能够解决不完美/不完整的匹配？如果匹配的大小是预先确定的，可以将最小权重匹配的目标重新定义为最大权重匹配，但是我在他们的论文中没有看到任何关于这一点的内容（或者关于强制完美匹配，因为可以想象，最大匹配是在不完美的情况下获得的）。
@epitaph：你是你想要/需要什么的专家；我只是想弄清楚如何/是否可以提供帮助。 Drake-Hougardy 算法处理最大权重匹配问题的线性时间近似。您在“两者”中还包括哪些其他算法？
@epitaph：好的，我认为 Beta 的意思是 Drake 和 Hougardy 提出的早期和后期的论文/算法。第一个更简单，并且可以保证（在线性时间内）找到至少为最大权重匹配一半权重的匹配，而第二个更复杂，但给出的结果几乎是最大值的 2/3（仍然在线性时间内）。我会写第一个。我仍然对您主题行中的“完美”一词有疑问，但我也会在 Anwser 中解决它，以便我可以定义术语。
也许我说得不对，但这是 math.stackexchange.com 的好人选吗？

标签： php javascript algorithm math graph

【解决方案1】：

问题定义及参考

给定一个简单的图（无向、无自边、无多边）匹配是边的子集，使得它们中没有两条与同一个顶点相关。

完美匹配是所有顶点都与匹配，如果有奇数个顶点，这是不可能的。更一般地，我们可以要求最大匹配（最大可能的数量匹配中的边）或最大匹配（不再匹配的匹配可以添加边）。

如果将正实“权重”分配给边缘，我们可以概括 最大加权匹配的问题，一个最大化边权重的总和。精确的最大加权匹配问题可以是在 O(nm log(n)) 时间内求解，其中 n 是顶点数，m 是边数。

请注意，最大加权匹配不一定是完美匹配。为了示例：

*--1--*--3--*--1--*

只有一个完美匹配，其总权重为 2，最大权重为 3 的加权匹配。

关于精确和近似解的讨论和进一步参考这些，以及最小加权完美匹配问题，可以找到在这些论文中：

"A Simple Approximation Algorithm for the Weighted Matching Problem" Drake, Doratha E. 和 Hougardy, Stefan (2002)

Implementation of O(nm log n) Weighted Matchings The Power of Data Structures Melhorn、Kurt 和 Schäfer、Guido (2000)

Computing Minimum-Weight Perfect Matchings Cook, William 和 Rohe, André (1997)

Approximating Maximum Weight Matching in Near-linear Time Duan, Ran 和 Pettie, Seth (2010)

Drake 和 Hougardy 的简单逼近算法

Drake-Hougardy 的第一个近似算法使用了这个思想使用在每个顶点相遇的局部最重边的增长路径。它与贪心算法一样，“性能比”为 1/2，但线性边数的时间复杂度（贪心算法使用全局最重的边缘，并且会导致更大的时间复杂度来找到它）。

主要的实现任务是识别支持的数据结构高效地执行他们的算法的步骤。

PathGrowing算法的思路：

Given: a simple undirected graph G with weighted edges

(0) Define two sets of edges L and R, initially empty.
(1) While the set of edges of G is not empty, do:
(2)    Choose arbitrary vertex v to which an edge is incident.
(3)    While v has incident edges, do:
(4)        Choose heaviest edge {u,v} incident to v.
(5)        Add edge {u,v} to L or R in alternating fashion.
(6)        Remove vertex v (and its incident edges) from G.
(7)        Let u take the role of v.
(8)    Repeat 3.
(9) Repeat 1.

Return L or R, whichever has the greater total weight.

表示图形和输出的数据结构

由于“集合”在任何直接意义上都不是 C 的数据结构，所以我们需要决定边和顶点的容器类型适合这个算法。关键操作是删除顶点和入射边，使我们能够找到是否有边 left 并比较与 a 相关的剩余边的权重给定顶点。

边缘需要是可搜索的，但只能查看是否还剩下任何边缘。人们首先想到的是一个简单的边链表，没有任何特殊订购。但是这个列表也需要通过本质上来维护随机删除。这表明双向链表（反向链接为以及在每个节点处转发），以便可以删除一条边通过修复链接以跳过任何“已删除”节点。边权重也可以存储在相同的结构中。

此外，我们需要能够扫描所有（剩余）边缘事件给定的顶点。我们可以通过为每个顶点创建一个链表来做到这一点的（指向）入射边。我会假设顶点有已预处理为可用作索引的序数值指向这些链表的指针数组。

最后我们需要表示边集 L 和 R，其中之一是作为近似最大匹配返回。我们的要求能够将边添加到任一集合，并且能够总计两者的边权重。动态分配的链表节点可以达到这个目的，也许存储指向边缘节点的指针在原来的双向链表中，权重属性仍然会即使在边缘被链接操作“移除”后仍然存在。

这样的链表和双向链表可以按时间比例创建到边的数量，因为双向链表条目可能是分配给输入上的特定于顶点的链接。有了这样的设计请注意，我们可以分析算法的每个步骤所需的工作量。

（待续）

【讨论】：

@epitaph：当顶点是边的两个端点之一时，事件是边与顶点的关系。（顶点的度数是与它相关的边的计数。）在加权图中，每条边都被分配了一个数字“权重”。所以“最重的边缘”只是意味着“重量”最大的边缘。
@epitaph：在第 (7) 行中，我们将指定最重边的另一个端点 u 在 (3) 的下一次重复中扮演 v 的角色。由于我们已经删除了与旧 v 相关的边缘，我们将在下一个循环中寻找与 u 相关的最重边缘“剩余”事件。如果没有剩余，则循环（3）结束；我们在当前的道路上走到了死胡同。然后一个新的外循环（1）开始，从一些剩余的边缘开始（直到没有更多的边缘）。
@epitaph：是的，图表是这样的。但是，如果您将最左边和最右边的顶点都标记为 A，则表明您的意思是识别它们，使整个图形成为三角形。这会弄乱我所说的关于我的示例的完美匹配（沿着简单路径的四个顶点）。但最大加权匹配仍然只是“三角形”中的一条边。