最大权重二分匹配答案

【问题标题】：Maximum weight bipartite matching最大权重二分匹配
【发布时间】：2011-04-26 07:11:46
【问题描述】：

我有一个矩形网格形式的图形，即 N 个节点和 2N 条边，所有相邻节点都是连接的。这意味着它是双色的，因此可以对其进行二分匹配。

每条（无向）边都有一个权重 -2、-1、0、1 或 2。不允许使用其他值

如何在此图上找到匹配项，以使匹配项中的权重总和最大化？伪代码会很好，不要打扰特定的语言。

理想情况下，我正在寻找一种在二次时间内运行的算法 - 最坏的情况可能是 O(n^2 log n)。

在您提出解决方案之前，我尝试使用权重 2 的边进行最大匹配，然后使用权重 1（不超过权重 2 的边）。我在这个实现中获得了 98% 的分数（问题来自信息学奥林匹克），我想知道 100% 的解决方案是什么。

【问题讨论】：

你不是说2N条边吗？而且您希望匹配包括所有节点，对吗？
是的，2N 条边（经过编辑以反映这一点）。我希望匹配包含任意数量的节点，只要匹配中边的总和最大化。
我认为您正在寻找图形切割 - en.wikipedia.org/wiki/Cut_(graph_theory)。最小割算法虽然运行 O(n^3)，但我怀疑这里的任何人都会击败它。
@dark_charlie：你为什么说它会是 O(n^3)？目前，我正在考虑 Ford-Fulkerson，即 O(VE)，或者在我的情况下为 O(n^2)。唯一的问题是实施起来很麻烦。
@Evgeny: Ford-Fulkerson 是 O(V * E^2) 其中 E^2 = 4 * V^2 在你的情况下，产生 O(V^3)。

【解决方案1】：

不知道你为什么要考虑最小切割。在这种情况下，剪裁不能保证给您匹配。你需要做的是解决分配问题。Assignment Problem。连续最短的数学算法在 O(EV log V) 中解决它，在你的情况下是 O(n^2 log n)。

【讨论】：