在完整的二分图中找到第二个最大加权匹配

Question

给定一个加权完全二分图 G=(V,U,E)，最大加权二分匹配问题，即分配问题，旨在在 G 中找到一个边权重之和最大的匹配。我知道有一些方法（例如，匈牙利算法）可以解决这个问题。现在，我想解决一个稍微不同的问题：

给定一个加权的完全二分图 G=(V,U,E)，我想同时找到 G 中的最大加权二分匹配和第二个最大加权二分匹配。任何想法将不胜感激。

Answer 1

有一种称为 Lawler-Murty 的通用算法，它允许您在连续调用中找到组合算法（包括匹配）的前 K 个答案。它在匹配的上下文中描述于https://core.ac.uk/download/pdf/82129717.pdf。

基本上，在找到最佳答案后，您会向问题添加约束，这会产生许多子问题，以便排除目前找到的答案，但所有其他答案仍将作为其中之一的答案出现子问题。第二个最佳答案将成为子问题之一的最佳答案。当您反复执行此操作时，您最终会得到一大堆要解决的子问题。对于匹配问题，您可以通过利用之前问题中的一些工作来减少解决子问题的时间。