在二分图中划分完美匹配

Question

在“婚姻问题”中，我们有 N 个男孩和 N 个女孩以及一个 NxN 二进制矩阵，告诉我们哪些配对是合适的，并且希望将每个女孩与一个男孩配对。 （即我们想在二分图中找到完美匹配）。

霍尔定理说，如果男孩节点的每个集合都与至少同样多的女孩节点共同相邻，则可以找到完美匹配；并且有快速的增广路径算法可以找到完美的这些匹配。

我正在寻找一种有效的方法来找到与 恰好 数量的女孩节点共同相邻的男孩节点集合（即，我们在 Hall 的标准中具有相等性）。这些男孩必须与这些女孩配对，其余男孩与其余女孩配对，以便所有完美匹配尊重这种划分。

我的图论有点生疏了，肯定有比枚举所有 2^N 个子集并计算每个邻域更好的方法吗？

Answer 1

这在多项式时间内是可能的。将您的二分匹配问题建模为有向图中的最大流量问题。然后使用一种算法来枚举最小割。在 Google 上搜索“枚举最小削减”，或 Vazirani & Yannakakis 或 Yeh & Wang 的论文。

Answer 2

如果我理解你想要什么，那么可惜的是，在多项式时间内没有聪明的方法可以做到这一点。在一般图上找到这样的分区是一个 NP 完全问题。