MIT_单变量微积分_29

1 . 极坐标系

比较：
（1）$\left\{\begin{matrix} x=rcos\Theta & \\ y=rsin\Theta & \end{matrix}\right.${x=rcosΘy=rsinΘ​​

（2）$r= \pm \sqrt{x^2+y^2}$r=±x2+y2​, $\theta=tan^{-1}(\frac{y}{x})$θ=tan−1(xy​)

结论：（1）比（2）更好用

Ex1: 平面上有一点$（x，y）= (1,-1)$（x，y）=(1,−1),如下图所示：

（1）$r= \sqrt{2},\theta = \frac{\pi}{4}$r=2​,θ=4π​
（2）$r=\sqrt{2},\theta = -\frac{\pi}{4}$r=2​,θ=−4π​
（3）$r=-\sqrt{2},\theta = -\frac{3\pi}{4}$r=−2​,θ=−43π​

Ex2： $r= a$r=a
(暗示：$-\pi \leq \theta \leq \pi$−π≤θ≤π or $0 \leq \theta \leq 2\pi$0≤θ≤2π)

Ex3: $r=\theta$r=θ
(暗示：$0 \leq \theta \leq \infty$0≤θ≤∞ )

Ex4: $y=1$y=1
( $y=rsin\theta=1,r =\frac{1}{sin\theta},0&lt; \theta&lt; \pi$y=rsinθ=1,r=sinθ1​,0<θ<π )

Ex5: 圆心不在原点的圆
$(x-a)^2+y^2=a^2\\ x^2-2ax+a^2+y^2=a^2\\ r^2-2ax=0(将y=rsin\theta,x=rcos\theta 带入)\\ r^2-2arcos\theta = 0\\ r^2=2arcos\theta\\ r=2acos\theta(-\frac{\pi}{2} \leq\theta \leq \frac{\pi}{2})$(x−a)2+y2=a2x2−2ax+a2+y2=a2r2−2ax=0(将y=rsinθ,x=rcosθ带入)r2−2arcosθ=0r2=2arcosθr=2acosθ(−2π​≤θ≤2π​)

**Ex5:**求阴影部分面积$\Delta A$ΔA

$圆的面积：\pi a^2\\ \Delta A = \frac{\Delta \theta}{2 \pi}\pi a^2\\ \Delta A = \frac{1}{2}a^2\Delta \theta\\ 当\Delta \theta 很小时\\ dA = \frac{1}{2}a^2d\theta\\ A=\int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2}a^2d\theta$圆的面积：πa2ΔA=2πΔθ​πa2ΔA=21​a2Δθ当Δθ很小时dA=21​a2dθA=∫θ1​θ2​​21​a2dθ