MIT_单变量微积分_08

线性和二阶近似

1. 线性近似

$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)

假设有一个曲线$y=f(x)$y=f(x),则其在$x_0$x0​处的切线表示为:
$y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$y=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)

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Ex
$f(x)=lnx, f'(x)=\frac{1}{x}$f(x)=lnx,f′(x)=x1​
$x_0= 1,f(1)=ln1=0,f'(1)= 1$x0​=1,f(1)=ln1=0,f′(1)=1
$lnx \approx 0+1\cdot(x-1)$lnx≈0+1⋅(x−1)
$lnx \approx x - 1,(x \to x_0)$lnx≈x−1,(x→x0​)

线性相似公式的证明：
$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta f}{\Delta x}}\\ \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta f}{\Delta x}}=f'(x_0)\\ \frac{\Delta f}{\Delta x} \approx f'(x_0),\{x \to x_0,即\Delta x很小\}\\ \Delta f \approx f'(x_0)\Delta x\\ f(x)-f(x_0) \approx f'(x_0)(x - x_0)\\ f(x)=f(x_0) +f'(x_0)(x-x_0)$f′(x0​)=Δx→0lim​ΔxΔf​Δx→0lim​ΔxΔf​=f′(x0​)ΔxΔf​≈f′(x0​),{x→x0​,即Δx很小}Δf≈f′(x0​)Δxf(x)−f(x0​)≈f′(x0​)(x−x0​)f(x)=f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)

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Ex:当$x_0 = 0$x0​=0时，$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$f(x)≈f(0)+f′(0)x.
$x \approx 0 \approx x_0,$x≈0≈x0​,

$sin x \approx x,$sinx≈x,
$cos x \approx 1,$cosx≈1,
$e^x \approx 1+x,$ex≈1+x,

$f'$f′	$f(0)$f(0)	$f'(0)$f′(0)
$cosx$cosx	$0$0	$1$1
$-sinx$−sinx	$1$1	$0$0
$e^x$ex	$1$1	$1$1

可以想象一下各个函数的几何图形以及$x_0$x0​处的切线.

Ex当$x_0 = 0$x0​=0时，$f(x) \approx f(0) + f'(0)x$f(x)≈f(0)+f′(0)x.
$ln(1+x) \approx x$ln(1+x)≈x,
$(1+x)^r\approx 1+rx$(1+x)r≈1+rx,

$f'$f′	$f(0)$f(0)	$f'(0)$f′(0)
$\frac{1}{1+x}$1+x1​	$0$0	$1$1
$r(1+x)^{r-1}$r(1+x)r−1	$1$1	$r$r

Ex:求$ln(1.1)=?$ln(1.1)=?
使用公式$ln(1+x)=x$ln(1+x)=x得出$ln(1.1)=\frac{1}{10}$ln(1.1)=101​

Ex:找出某函数在$x=0$x=0处附近的线性近似。
$\frac{e^{-3x}}{\sqrt{1+x}}=e^{-3x}(1+x)^{\frac{1}{2}}\\ \approx(1-3x)(1+\frac{1}{2}x)\\ =1-\frac{1}{2}x-3x-\frac{3}{2}x^2(忽略高次项)\\ =1-\frac{7}{2}x$1+x​e−3x​=e−3x(1+x)21​≈(1−3x)(1+21​x)=1−21​x−3x−23​x2(忽略高次项)=1−27​x

2.二阶近似

$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2$f(x)≈f(x0​)+f′(x0​)(x−x0​)+2f′′(x0​)​(x−x0​)2

Ex$ln(1+x)\approx x-\frac{x^2}{2}$ln(1+x)≈x−2x2​

$ln(1.1)=ln(1+\frac{1}{10})\approx\frac{1}{10}-\frac{1}{2}(\frac{1}{10})^2=0.095$ln(1.1)=ln(1+101​)≈101​−21​(101​)2=0.095

同理，可以求出其他函数的二阶近似。
$sinx \approx x$sinx≈x,
$cosx\approx1-\frac{1}{2}x^2$cosx≈1−21​x2,
$e^x\approx1+x+\frac{1}{2}x^2$ex≈1+x+21​x2,

$f''$f′′	$f(0)$f(0)	$f''(0)$f′′(0)
$-sinx$−sinx	$0$0	$0$0
$-cosx$−cosx	$1$1	$-1$−1
$e^x$ex	$1$1	$1$1

$ln(1+x) \approx x-\frac{1}{2}x^2$ln(1+x)≈x−21​x2,
$(1+x)^r\approx 1+rx+\frac{r(r-1)}{2}x^2$(1+x)r≈1+rx+2r(r−1)​x2,

$f''$f′′	$f(0)$f(0)	$f''(0)$f′′(0)
$\frac{-1}{(1+x)^2}$(1+x)2−1​	$0$0	$-1$−1
$r(r-1)(1+x)^{r-2}$r(r−1)(1+x)r−2	$1$1	$r(r-1)$r(r−1)

几何意义：
没图，自己想想吧-----------
总之，更加逼近原函数

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Ex为何$\frac{1}{2}f''(x_0)的系数是\frac{1}{2}?$21​f′′(x0​)的系数是21​?
$f(x)=a+bx+cx^2\\ f'(x)=b+2cx\\ f''(x)=2c$f(x)=a+bx+cx2f′(x)=b+2cxf′′(x)=2c
推论出：
$f(0)=a,f'(0)=b,\frac{1}{2}f''(0)=c$f(0)=a,f′(0)=b,21​f′′(0)=c
Ex:$e^{-3x}(1+x)^{-\frac{1}{2}}\approx(1-3x+\frac{1}{2}(-3x)^2)(1-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})x^2)\\ \approx1-\frac{1}{2}x-3x+\frac{1}{2}(-3x)^2+\frac{3}{8}x^2+\frac{3}{2}x^2,(忽略其它高次项)\\ \approx1-\frac{7}{2}x+\frac{51}{8}x^2$e−3x(1+x)−21​≈(1−3x+21​(−3x)2)(1−21​x+21​(−21​)(−23​)x2)≈1−21​x−3x+21​(−3x)2+83​x2+23​x2,(忽略其它高次项)≈1−27​x+851​x2