MIT_单变量微积分_06

指数与对数

1. 指数

符号:

$a >0时， a^0 = 1, a^1 = a, a^2 = a\cdot a.$a>0时，a0=1,a1=a,a2=a⋅a.

基础公式： $a^{x_1+x_2} = a^{x_1}\cdot a^{x_2},{(a^{x_1})}^{x_2}=a^{x_1x_2}$ax1​+x2​=ax1​⋅ax2​,(ax1​)x2​=ax1​x2​.

几何图形：

Ex: 求$\frac{d}{dx}{a^x}等于多少？$dxd​ax等于多少？
$\frac{d}{d\space x}{a^x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{x+\Delta x }-a^x}{\Delta x}\\ =a^x \lim_{\Delta x \to 0}\frac{a^{\Delta x } - 1}{\Delta x}$d xd​ax=Δx→0lim​Δxax+Δx−ax​=axΔx→0lim​ΔxaΔx−1​

令$M(a)= \lim_{\Delta x \to 0 }\frac{a^{\Delta x} - 1}{\Delta x},则\frac{d}{d\space x} a^x=M(a)a^x$M(a)=limΔx→0​ΔxaΔx−1​,则d xd​ax=M(a)ax.

因此，$x=0时，\frac{d}{d\space x}a^x=M(a)$x=0时，d xd​ax=M(a),得出$M(a)$M(a)是所有指数函数在$x=0$x=0是的斜率。

假设$M(e) = 1$M(e)=1.则$\frac{d}{d \space x}e^x=e^x$d xd​ex=ex,符合上述结论$\frac{d}{dx}e^x|_{x=0}= 1$dxd​ex∣x=0​=1

• 为什么e存在？

证明：
$f(x)=2^x,f(0)'= M(2) \\扩展k倍后得出， \\f(kx) = 2^{kx}=(2^k)^x=b^x,b=2^k \\\frac{d}{dx}b^x=\frac{d}{dx}f(kx)=kf'(kx) \\\frac{d}{dx}b^x|_{x=0}=kf'(0)=kM(2) \\b=e\rightarrow k =\frac{1}{M(2)}$f(x)=2x,f(0)′=M(2)扩展k倍后得出，f(kx)=2kx=(2k)x=bx,b=2kdxd​bx=dxd​f(kx)=kf′(kx)dxd​bx∣x=0​=kf′(0)=kM(2)b=e→k=M(2)1​

---

Proof 1:
$(e^{lna})^x=a^x,则\\ \frac{d}{dx}e^{xlna}=lna\cdot e^{xlna}\\ =lna\cdot a^x$(elna)x=ax,则dxd​exlna=lna⋅exlna=lna⋅ax
所以：$M(a)=lna$M(a)=lna

Proof 2 对数微分法
令$u=a^x$u=ax
$lnu=xlna\\ \frac{u'}{u}=ln'u=lna\\ u'=ulna\\ \frac{d}{dx}a^x=a^xlna$lnu=xlnauu′​=ln′u=lnau′=ulnadxd​ax=axlna

2. 自然对数

符号: $w=lnx,y=e^x \Leftrightarrow x=lny$w=lnx,y=ex⇔x=lny
性质: $ln(x_1*x_2)=lnx_1+lnx_2,ln1= 0,lne = 1$ln(x1​∗x2​)=lnx1​+lnx2​,ln1=0,lne=1
几何图形：

Ex:求$lnx$lnx的导数（已知$e^x$ex的导数求你函数的导数）？
$w = lnx, e^w=x, e^{lnx}=x$w=lnx,ew=x,elnx=x
$\frac{d}{dx}e^w=\frac{d}{dx}x=1\\ \frac{d}{dw}e^w\frac{d}{dx}w=1\\ e^w\frac{d}{dx}w=1\\ w'=\frac{1}{e^w}\\ w'=\frac{1}{x}\\ ln'x=\frac{1}{x}$dxd​ew=dxd​x=1dwd​ewdxd​w=1ewdxd​w=1w′=ew1​w′=x1​ln′x=x1​

此时，再去求$\frac{d}{dx}a^x$dxd​ax的导数？。

2.1 对数微分法

Ex求$\frac{d}{dx}lnu= ?$dxd​lnu=?
$\frac{d}{dx}lnu=\frac{d}{du}lnu\frac{d}{dx}u\\ =\frac{1}{u}\cdot\frac{du}{dx}\\ =\frac{u'}{u}$dxd​lnu=dud​lnudxd​u=u1​⋅dxdu​=uu′​
所以$\frac{d}{dx}lnu=\frac{u'}{u}$dxd​lnu=uu′​

2.2 变动的指数函数求导

Ex:
$v=x^x,lnv=xlnx$v=xx,lnv=xlnx
$ln'v=lnx+x\cdot\frac{1}{x}\\ \frac{v'}{v}=1+lnx\\ v'=v(1+lnx)\\ \frac{d}{dx}x^x=x^x(1+lnx)$ln′v=lnx+x⋅x1​vv′​=1+lnxv′=v(1+lnx)dxd​xx=xx(1+lnx)

Ex 求$\lim_{n \rightarrow \infty}(1 + \frac{1}{n})^n=?$limn→∞​(1+n1​)n=?
提示：$\frac{1}{n}= \Delta x\to 0$n1​=Δx→0
$ln( (1+\frac{1}{n}))=nln(1+\frac{1}{n})\\ =\frac{1}{\Delta x}ln(1+\Delta x)\\ =\frac{1}{\Delta x}ln(1+\Delta x)-ln1\\ =\frac{d}{dx}lnx|_{x=1}=1$ln((1+n1​))=nln(1+n1​)=Δx1​ln(1+Δx)=Δx1​ln(1+Δx)−ln1=dxd​lnx∣x=1​=1

Ex$求证 \frac{d}{dx}x^r=rx^{r-1}$求证dxd​xr=rxr−1
Proof 1:$x^r=e^{rlnx}$xr=erlnx
$\frac{d}{dx}x^r=\frac{d}{dx}e^{rlnx}\\ =e^{rlnx}\cdot \frac{r}{x}\\ =rx^{r-1}$dxd​xr=dxd​erlnx=erlnx⋅xr​=rxr−1
Proof 2 $u=x^r,lnu=rlnx$u=xr,lnu=rlnx
$\frac{u'}{u}=ln'u=\frac{r}{x}\\ u'=u\cdot\frac{r}{x}\\ =rx^{r-1}$uu′​=ln′u=xr​u′=u⋅xr​=rxr−1