MIT_单变量微积分_15

1.微分方程和分离变量

Ex1: $\frac{dy}{dx} =f(x),求y=??$dxdy​=f(x),求y=??
$y=\int f(x)dx$y=∫f(x)dx

Ex2: $(\frac{d}{dx} +x)y=0.$(dxd​+x)y=0.，求y?

$(\frac{d}{dx} +x)y=0.\\ \frac{dy}{dx}=-xy\\ \frac{dy}{y}=-xdx\\ \int \frac{dy}{y}=-\int xdx\\ lny=-\frac{x^2}{2}+C(y>0)\\ e^{lny}=e^{-\frac{x^2}{2} +C}\\ y=Ae^{-\frac{x^2}{2}}(A=e^c)\\ y=ae^{-\frac{x^2}{2}}(a取任意数)\\ \frac{dy}{dx}=a(-x)e^{-\frac{x^2}{2}}=-xy$(dxd​+x)y=0.dxdy​=−xyydy​=−xdx∫ydy​=−∫xdxlny=−2x2​+C(y>0)elny=e−2x2​+Cy=Ae−2x2​(A=ec)y=ae−2x2​(a取任意数)dxdy​=a(−x)e−2x2​=−xy

分离变量法：
$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\\ \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\\ H(y)=\frac{dy}{g(y)},F(x)=\int f(x)dx\\ H(y)=F(x)+C\\ y=H^{-1}(F(x)+C)$dxdy​=f(x)g(y)g(y)dy​=f(x)dxH(y)=g(y)dy​,F(x)=∫f(x)dxH(y)=F(x)+Cy=H−1(F(x)+C)

注解：
(1)$ln|y|=-\frac{x^2}{2} +C(y \neq 0)\\ |y|=e^{-\frac{x^2}{2}+C}=Ae^{-\frac{x^2}{2}}\\ y=\pm Ae^{-\frac{x^2}{2}}=ae^{-\frac{x^2}{2}}(a = \pm A)$ln∣y∣=−2x2​+C(y̸​=0)∣y∣=e−2x2​+C=Ae−2x2​y=±Ae−2x2​=ae−2x2​(a=±A)
(2)$lny+C_1=-\frac{x^2}{2}+C_2\\ lny=-\frac{x^2}{2}+(C_2+C_1) 可以看作一个常数C$lny+C1​=−2x2​+C2​lny=−2x2​+(C2​+C1​)可以看作一个常数C

Ex3:如图所示，切线是射线斜率的两倍。

$\frac{dy}{dx}=2\frac{y}{x}\\ \frac{dy}{y}=2\frac{1}{x}dx(分离变量法)\\ lny=2lnx+C\\ e^{lny}=e^{2lnx+C}\\ y=Ax^2（函数图形如下所示）\\ 【(e^{lnx})^2=x^2 】$dxdy​=2xy​ydy​=2x1​dx(分离变量法)lny=2lnx+Celny=e2lnx+Cy=Ax2（函数图形如下所示）【(elnx)2=x2】

Wanging：x=0时会出现问题。
Ex4找出与原点出发的抛物线（就是上面的图像）实时垂直的曲线。

$\frac{dy}{dx}=\frac{-1}{抛物线的斜率}=\frac{-1}{2(\frac{y}{x})}=-\frac{x}{y}\\ 2ydy=xdx$dxdy​=抛物线的斜率−1​=2(xy​)−1​=−yx​2ydy=xdx