MIT_单变量微积分_20

1.壳层法、圆盘法求体积

Ex 利用切片球体积。

$V=\int A(x)dx$V=∫A(x)dx

Ex:旋转立方体,绕x轴旋转(圆盘法)。

$dv=\pi y^2dx$dv=πy2dx

Ex:半径为$a$a球的体积。

$圆盘法：dy=\pi y^2dx\\ 圆：(x-a)^2+y^2=a^2\\ y^2=a^2-(x-a)^2\\ =2ax-x^2\\ V=\int_0^{2a}\pi(2ax-x^2)dx\\ =\pi(ax^2-\frac{x^3}{3})|_0^{2a}\\ =\pi(4a^3-\frac{8a^3}{3})\\ =\frac{4}{3}\pi a^3$圆盘法：dy=πy2dx圆：(x−a)2+y2=a2y2=a2−(x−a)2=2ax−x2V=∫02a​π(2ax−x2)dx=π(ax2−3x3​)∣02a​=π(4a3−38a3​)=34​πa3
Ex:如图所示，类似于坩埚，绕y轴旋转(壳层法)。

$dv=(2\pi x)(a-y)dx\\ =2\pi x(a-x^2)dx\\ =2\pi (ax-x^3)dx\\ V=\int_0^{\sqrt{a}}2\pi(ax-x^3)dx\\ =(\pi ax^2-2\pi\frac{x^4}{4})|_0^{\sqrt{a}}\\ =\pi a^2-\frac{\pi a^2}{2}\\ =\frac{\pi}{2}a^2$dv=(2πx)(a−y)dx=2πx(a−x2)dx=2π(ax−x3)dxV=∫0a​​2π(ax−x3)dx=(πax2−2π4x4​)∣0a​​=πa2−2πa2​=2π​a2