MIT_单变量微积分_13

1.中值定理

公式：
$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$b−af(b)−f(a)​=f′(c)
条件：$f$f在$(b,a)$(b,a)内可微，在$[a,b]$[a,b]上连续。

主要推论：(和图像的应用有关。)

• 当$f'>0,f递增$f′>0,f递增。
• 当$f&#x27;&lt;0,f递减$f′<0,f递减。
• 当$f&#x27;=0,f=常数$f′=0,f=常数。
• $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f&#x27;(c)\\ f(b)-f(a)=f&#x27;(c)(b-a)\\ f(b)=f(a)+f&#x27;(c)(b-a)$b−af(b)−f(a)​=f′(c)f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)=f(a)+f′(c)(b−a)
• $f&#x27;(c)&gt;0 \Rightarrow f(b)&gt;f(a)$f′(c)>0⇒f(b)>f(a)
• $f&#x27;(c)&lt;0 \Rightarrow f(b)&lt;f(a)$f′(c)<0⇒f(b)<f(a)
• $f&#x27;(c)=0 \Rightarrow f(b)=f(a)$f′(c)=0⇒f(b)=f(a)

和线性近似比较：

$\frac{\Delta f}{\Delta x} \approx f&#x27;(a)$ΔxΔf​≈f′(a),相当于：平均速度等于初始速度或者最终速度.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = f&#x27;(c)$ΔxΔf​=f′(c),相当于：平均速度的范围.$min(f&#x27;)\leqslant \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \leqslant max(f&#x27;)$min(f′)⩽b−af(b)−f(a)​⩽max(f′).

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Ex1:证明： $e^x&gt;1+x$ex>1+x

$f(x) = e^x-(1+x)$f(x)=ex−(1+x)
$f(0) = 0,f&#x27;(x)=e^x-1&gt;0,(x&gt;0)$f(0)=0,f′(x)=ex−1>0,(x>0)
所以：$f(x)&gt;f(0)$f(x)>f(0)
所以：$e^x&gt;(1+x)$ex>(1+x)
Ex2:证明：$e^x&gt;1+x+\frac{x^2}{2}$ex>1+x+2x2​

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$g(x)=e^x-(1+x+\frac{x^2}{2}).$g(x)=ex−(1+x+2x2​).
$g(0)=1-1=0,g&#x27;(x)=e^x-(1+x)&gt;0.$g(0)=1−1=0,g′(x)=ex−(1+x)>0.
$g(x)&gt;g(0)$g(x)>g(0)
$e^x&gt;1+x+\frac{x^2}{2}$ex>1+x+2x2​