如何查找加权图的每个最小生成树中必须存在的边答案

【问题标题】：How to look for the edges that must exist in every minimum spanning trees of a weighted graph如何查找加权图的每个最小生成树中必须存在的边
【发布时间】：2018-10-20 10:26:56
【问题描述】：

但是，给定一个无向加权图，边的实际权重是未知的；相反，每个边缘都被分类为轻、中或重。

所有轻边的权重都小于任何中等或重边。

所有中边的权重都小于任何重边

一般来说，对于同一权重类中的两条边之间的关系，我们一无所知。那么，如何识别该图的每个 MST 中必须存在的所有边呢？以下是我的想法： 1.确定强连通分量的个数。 2. MST中必须存在由关节点组成的边。 3. 每个连通分量中最轻的边必须存在于 MST 中。

我不确定我的想法是否正确？如果正确，如何用java实现代码？非常感谢。

【问题讨论】：

您问题的理论部分可能更适合cstheory.stackexchange.com
谢谢。我已将此问题转移到 stackexchange。
为什么需要边之间的关系？只需将 weight=1 分配给轻类中的所有边，将 weight=2 分配给中类边缘，将 weight=3 分配给重类边缘，然后运行任何 MST 算法并找出它包含哪些边
是的，这是个好主意。但问题是确定每个 MST 中必须存在的边，而不是所有边。谢谢
我写的是“所有边缘”吗？你为你的图找到 MST 并检查它的边缘。这些边缘将出现在满足该分类的每个 MST 中

标签： java data-structures

【解决方案1】：

Jason，我不会深入描述如何用 Java 实现代码，而是让我们看看算法背后的思考过程。

由于您的顶点分为三个权重类别，我们可以使用比较权重重新标记它们，如下所示：Light 为 1；中为 2；重为 3。这样，您的条件得以维持。

接下来，我们可以像往常一样使用 Kruskal 的最小生成树算法 (MST) 在无向加权图上创建最小生成树。这个算法是贪心的，所以它会将边从轻到重排序，只要不产生循环就选择下一个最小的边，然后重复步骤 2，直到所有顶点都包含在 MST 中。（请参阅下面的链接以供参考） https://www.geeksforgeeks.org/kruskals-minimum-spanning-tree-algorithm-greedy-algo-2/

在验证您的算法是否正确时，有两种可能的情况。

1)。您可以显示 MST 和排除的边缘的实际权重。检查排除边，如果在向 MST 添加排除边时，该边不是循环中最重的边，则将其与最重的边交换。继续这样做，直到探索所有最初排除的边并且 MST 保持其包含每个顶点的属性。 2）。您无法显示图中任何顶点的实际权重。在这种情况下，甚至无法验证您的算法是否创建了最小生成树，因此您的算法将无法自我检查。无论如何，使用具有比较权重的 Kruskal 算法将创建一个非常接近最小值的生成树，即使不知道实际权重。

【讨论】：

【解决方案2】：

这是一个在 O(|E|)- 时间内运行的简单算法。

初始化一个空集 S。
将图中的所有桥梁添加到 S.
从图中删除所有粗边。
将图中的所有桥梁添加到 S.
从图中删除所有中间边
将图中的所有桥梁添加到 S.
返回 S.

有一些快速算法可以找到图中的所有桥，例如this one

为什么上面的算法是正确的？

关于表征全 MST 边的定理：当且仅当对于包含该边的任何循环，该循环还包含比该边重的边时，一条边出现在每个最小生成树中.

上面的定理被证明here。顺便说一句，在图的每个 MST 中的一条边有时称为关键 MST 边。

问题中给出的算法不正确。例如，所有 3 条边都归类为光的三角形。再举一个例子，一个三角形，一个轻边，一个中边和一个重边。

【讨论】：