一个图可以有许多不同的最小生成树 (MST)，但不同的 MST 可以有不同的边权重集吗？例如，如果一个 MST 使用边权重 {2,3,4,5}，那么其他每个 MST 是否必须具有边权重 {2,3,4,5}，或者其他一些 MST 可以使用不同的权重集合吗？
让我想到的是，只有当边权重不同时，图才具有唯一 MST。
【问题讨论】：
标签： math tree minimum-spanning-tree proof
这些集合必须具有相同的重量。这是一个简单的证明：假设他们没有。让我们让 T1 和 T2 成为一些图 G 的 MST，这些图 G 具有不同的多组边权重。
将这些边按权重升序排序。由于两个多组权重不同，请查看权重首先发散的位置。在 T1 或 T2 中最终会有一些最小的权重 w*（假设 WLOG，它在 T1 中），其中 T1 和 T2 具有相同数量的所有权重小于 w* 的边，但 T1 具有更多权重 w* * 比 T2。直观地说，权重 w* 的边是 T1 “领先” T2 的地方。
现在，考虑 T1 中权重 w* 的边集；我们称它们为 W*。考虑将任何这些边添加到 T2 时会发生什么。每次我们这样做，它都会在 T2 中关闭一个循环。注意，新加入的边 e 不能是该循环中权重最大的边；如果是这样，那么通过cycle property，我们可以保证 e 不能出现在任何 MST 中，但我们知道它在一个（即 T1）中。因此，环上一定存在权重大于等于w*的边。
如果其中一条边的权重严格大于 w*，那么我们可以通过删除该边来降低 T2 的成本。不过那是不可能的，因为我们知道 T2 是 MST。
因此，我们知道循环中还有一些其他边的权重等于 w*。如果这些边中的任何一个不在 T1 中，则选择任何一个并将其删除。请注意，我们刚刚将 T2 中的一条边交换为 T1 中的等权边。因为 T1 中权重 w* 的边比 T2 中的多，所以我们不能永远这样做，最终我们会遇到循环关闭并且所有最大权重边的权重为 w* 并出现的情况从 T1 开始。
那么在这种情况下会发生什么？好吧，想想当我们添加触发它的边缘时关闭的循环 C。我们将证明，在这种情况下，T1 不可能是 MST，这与我们最初的假设相矛盾，并为我们提供了我们想要的结果。
令 C* 是 C 中成本小于 w* 的边的集合。按权重顺序处理这些边，一次将它们添加到 T1 中。每次这样做，我们都会关闭一个循环。该循环中的最大权重边不能是我们从 T2 添加的边（因为否则，根据循环属性，边本来就不应该在 T2 中）。因此，要么最大权重边的权重大于来自 T2 的边（在这种情况下，我们将其删除，与 T1 是 MST 相矛盾），要么具有相同的权重。最终，我们最终对 T1 进行了转换，使其具有与 T2 相同的一组成本小于 w* 的边。但这是一个问题，因为那时我们知道循环 C 会出现在 T1 中，这意味着 T1 不是 MST。这给了我们需要的矛盾。
希望这会有所帮助！
【讨论】：