是否正确：所有边权重都是正的，那么任何连接所有顶点且总权重最小的必须是最小生成树？

Question

这个问题是从算法介绍的练习23.1-7演变而来的。

原来的问题是：

23.1-7 争论如果一个图的所有边权重都是正的，那么连接所有顶点并具有最小总权重的边的任何子集必须是一棵树。举个例子说明如果我们允许某些权重为非正数，则不会得出相同的结论。

但我认为，如果图的所有边权重都是正数，那么连接所有顶点并具有最小总权重的边的任何子集都必须是最小生成树。

我的推论对吗？如果不是，请给我一个反例。

Answer 1

我认为你的推论等同于你被要求证明的陈述。生成树是边的子集，因此所有顶点都连接起来没有任何环（所以它是一棵树）。如果它是最小生成树，则边的总权重被最小化。

所以是的，你的推论是正确的，但你还没有证明这个陈述。提示：一棵树不包含任何循环，因此尝试通过假设您有一个连接所有具有最小总权重的顶点的子集来证明矛盾。