证明在二叉树中重复调用 successor() 的效率？答案

【问题标题】：Prove the efficiency of repeated calls to successor() in binary trees?证明在二叉树中重复调用 successor() 的效率？
【发布时间】：2011-12-10 06:00:06
【问题描述】：

我需要 CLRS 算法一书中关于这个练习的提示：

证明无论我们从高度为 h 的二叉搜索树中的哪个节点开始，k 次对 Tree-Successor 的连续调用都需要 O(k+h) 时间.

【问题讨论】：

标签： algorithm binary-search-tree proof

【解决方案1】：

在k 连续调用TREE-SUCCESSOR 之后，让x 成为起始节点，z 成为结束节点。
让p 成为x 和z 之间的简单路径。
让y 成为p 访问的x 和z 的共同祖先。
p的长度最多为2h，即O(h)。
设output 是其值介于x.key 和z.key 之间的元素。
output 的大小为O(k)。
在执行k 对TREE-SUCCESSOR 的连续调用时，访问p 中的节点，除了节点x、y 和z，如果访问p 中某个节点的子树，则其所有元素都在output 中。
所以运行时间是O(h+k)。

【讨论】：

In the execution of k successive calls to TREE-SUCCESSOR, the nodes that are in p are visited, and besides the nodes x, y and z 你能解释一下这里的y 是什么吗？
我在答案中添加了y。
@AviCohen。非常感谢你。所以，我认为k 连续调用意味着调用查找后继函数k 次意味着我们将拥有k 不同的函数，每个函数都有自己的递归调用。我想，既然为每个人寻找继任者需要O(h)，其中h是高度，那么我们需要O(h)+...+O(h)k次？ P

【解决方案2】：

提示：做一个小例子，观察结果，尝试推断原因。

要开始，这里有一些事情需要考虑。

从某个节点开始，对 Tree-Succcesor 的 k 次连续调用构成了部分树遍历。这次步行访问了多少（至少和最多）节点？（提示：想想key(x)）。请记住，一条边最多被访问两次（为什么？）。

最后提示：结果是O(2h+k)。

【讨论】：

一个节点最多被访问三次。