如果我们已经知道 GCD(a, b)，我们如何找到 GCD(k + a, k + b)？

【问题标题】：How we can find GCD(k + a, k + b) if we already know the GCD(a, b)?如果我们已经知道 GCD(a, b)，我们如何找到 GCD(k + a, k + b)？
【发布时间】：2021-05-09 19:44:30
【问题描述】：

我想知道是否可以在恒定时间内计算上述目标。我需要它来解决 codechef 上的问题。

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，因此属于 Math Stack Exchange。
@gspr 如何在恒定时间内计算某些东西（如果可能的话）是一个与编程相关的问题。数学和计算机科学之间的界限并不清晰。
@JohnColeman：我同意数学和 CS 之间的界限是模糊的。关于这个问题是否最适合数学或 CS 堆栈交换，这绝对是一个悬而未决的问题，但我不明白它是如何属于 SO 的。

标签： math mathematical-optimization euclidean-algorithm

【解决方案1】：

仅知道gcd(a,b)，不可能在恒定时间内计算gcd(a+k,b+k)。

假设c,d 是任意两个带有d < c 的自然数。

让

a = d - d = 0
b = c - d
k = d

那么我们知道O(1)时间

gcd(a,b) = gcd(0, c - d) = c - d

如果我们可以在O(1) 额外的时间内计算gcd(a+k,b+k) = gcd(c,d)，那么我们可以在O(1) 时间内计算所有 gcd，这是不可能的。

说了这么多，当然有可能在某些感兴趣的情况下，gcd(a,b) 的知识可能会导致 gcd(a+k,b+k) 的计算速度比其他情况更快。

【讨论】：