数学 - 在 3D 空间中的旋转 2D 圆盘中生成点

Question

我一直在尝试仅使用圆盘的位置和法线在 3D 空间中沿 2D 圆盘的环（平移和旋转）生成点。

我一直在使用以下代码来生成点，并一直在 Matlab 中对其进行测试（但将在 c# 中使用它）来检查点是否正确生成，但它似乎没有正确生成点.

numPoints = 25;
radius = 1;
pos = [1; 2; 3];
dir = normc([3; 4; 6]); % normalised

function [pointsT, points] = GenerateDiscPoints(numPoints, radius, pos, dir) 
    points = zeros(numPoints, 3);
    pointsT = zeros(numPoints, 3);

    % Angle between points
    angle = 2 * pi / numPoints;

    for i = 1:numPoints+1
        % Current point angle
        theta = angle * i; 

        % Generate point in flat disc (y is vertical axis in Unity)
        x = radius * cos(theta) + pos(1);
        y = 0 + pos(2);
        z = radius * sin(theta) + pos(3);

        % Save points
        points(i, 1) = x;
        points(i, 2) = y;
        points(i, 3) = z;

        % Calculate t value to translate points
        t = (dir(1) * pos(1) - dir(1) * x + dir(2) * pos(2) - dir(2) * y + dir(3) * pos(3) - dir(3) * z) / (dir(1)*dir(1) + dir(2)*dir(2) + dir(3)*dir(3));

        % Translate points to correct location
        xT = x + t*dir(1);
        yT = y + t*dir(2);
        zT = z + t*dir(3);

        % Save translated points
        pointsT(i, 1) = xT;
        pointsT(i, 2) = yT;
        pointsT(i, 3) = zT;
    end

    % Plot
    figure;
    hold all;
    grid on;
    scatter3(points(:,1), points(:,2), points(:,3), 25, 'r');
    scatter3(pointsT(:,1), pointsT(:,2), pointsT(:,3), 25, 'g');
    p3 = line([pos(1) pos(1)+dir(1)], [pos(2) pos(2)+dir(2)], [pos(3) pos(3)+dir(3)]);
    set(p3, 'Color', 'blue');
end

蓝线是圆盘的法线，红点是平移前的点，绿点是平移后的点。在我看来，翻译点似乎没有在具有指定法线的光盘中生成。

我当前的算法有什么问题？有什么更好的方法来做到这一点？

Answer 1

沿dir 方向的简单线性平移是不够的 - 您最终会在pos 的平面上得到圆的投影 与正常的dir，即椭圆。

你可以：

• 使用 四元数 构造一个旋转矩阵，将生成的圆重新定向到dir。

  • 创建这个四元数：https://stackoverflow.com/a/1171995/8204776
  • 将其转换为矩阵：https://stackoverflow.com/a/1556470/8204776

或

• 在pos 处构造一个正交基，其中一个轴是dir。

  简单的方法：

  1. 检查 X 轴是否平行于 dir - 理想情况下是 abs(dot(dir, X)) < 0.8（假设两者都已归一化），因此它们不会太靠近彼此

  2. 如果 (1) 为真，则采用 dir2 = Y，否则采用 dir2 = X。

  3. 创建第一个基向量A = normalize(cross(dir, dir2))。

  4. 创建第二个，B = cross(dir, A)。

  5. 现在您可以通过pos + radius * (A * cos(theta) + B * sin(theta))（以矢量表示法）在theta 的每个值处生成点。