3d 中 2 个圆盘之间的交点

Question

我正在尝试找到一种算法或一种方法来找到球体上两个圆之间的交点（在 3d 中）。例如，如果我有两个圆心在两个点A(latitude1,longitude1) and B(latidude2,longitude2) 假设它们相交，我怎样才能找到这两个圆之间的交点？有没有算法可以做到这一点？

谢谢

Answer 1

1. Convert from latitude/longitude to 3D Cartesian coordinates.

2. 对于每个圆，找到方程nx x + ny y + nz z = d 与球体相交的平面是圆。假设 球体以原点为中心，法向量 (nx, ny, nz) 是圆心 (cx, cy, cz)（投影或 不是）归一化后。

                    (cx, cy, cz)
   (nx, ny, nz) = -----------------
                  ||(cx, cy, cz)||
                                  2
   

   距离d 是使用毕达哥拉斯计算的。设r 为半径 圆的半径和R 是球体的半径。

    2    2    2
   R  = d  + r
         _______     _______________
        | 2    2    |
   d = \|R  - r  = \|(R + r) (R - r)
   

   第二个表达式更适合数值稳定性。

   如果我们只知道球体表面的长度r' 将圆心投影到圆上，然后计算

   d = R cos(r'/R)
   r = R sin(r'/R).
   

   在这种情况下，我们实际上不需要r。

3. Find the intersection of the two planes, a line.

4. Find the intersection of the line and the sphere, between zero and two points.

5. Convert the points to latitude/longitude.