递归斐波那契算法的空间复杂度是多少？

Question

这是Cracking the Coding Interview（第5版）中斐波那契数列的递归实现

int fibonacci(int i) {
       if(i == 0) return 0;
       if(i == 1) return 1;
       return fibonacci(i-1) + fibonaci(i-2);
}

看了这个算法时间复杂度的视频Fibonacci Time Complexity，我现在明白了为什么这个算法运行在O(2ⁿ)。但是，我正在努力分析空间复杂性。

我上网查了一下，对此有疑问。

在这个 Quora 帖子中，作者指出“在你的情况下，你有 n 个堆栈帧 f(n)、f(n-1)、f(n-2)、...、f(1) 和奥（1）”。你不会有 2n 个堆栈帧吗？说 f(n-2) 一帧将用于实际调用 f(n-2) 但不会还有来自 f(n-1) 的调用 f(n-2) 吗？

Answer 1

在我看来，这个过程一次只会下降一个递归。 第一个 (f(i-1)) 将创建 N 个堆栈帧，另一个 (f(i-2)) 将创建 N/2。 所以最大的是N。另一个递归分支不会占用更多空间。

所以我会说空间复杂度是 N。

由于 f(i-2) 小于 f(i-1) 空间，因此一次只计算一个递归，这一事实允许忽略它。

Answer 2

这里有一个提示。使用 print 语句修改您的代码，如下例所示：

int fibonacci(int i, int stack) {
    printf("Fib: %d, %d\n", i, stack);
    if (i == 0) return 0;
    if (i == 1) return 1;
    return fibonacci(i - 1, stack + 1) + fibonacci(i - 2, stack + 1);
}

现在在 main 中执行这一行：

Fibonacci(6,1);

打印出的“堆栈”的最高值是多少。你会看到它是“6”。尝试“i”的其他值，您会发现打印的“stack”值永远不会超过传入的原始“i”值。

由于 Fib(i-1) 在 Fib(i-2) 之前被完全评估，所以递归级别永远不会超过 i。

因此，O(N)。

Answer 3

递归实现的近似时间复杂度为 2 平方 n (2^n)，这意味着该算法必须经过大约 64 个计算步骤才能获得第 6 个斐波那契数。这是巨大的并且不是最优的，大约需要程序 1073741824 的计算步骤才能得到 30 的斐波那契数，这是一个很小的数字，这是不可接受的。实际上，迭代方法肯定要好得多且经过优化。

知道了这个实现的时间复杂度之后，你可能会认为它的空间复杂度可能是一样的，其实不然。此实现的空间复杂度等于 O(n)，并且永远不会超过它。那么，让我们揭开“为什么”的神秘面纱？

这是因为递归执行的函数调用乍一看似乎是并发执行的，但实际上它们是按顺序执行的。

顺序执行保证堆栈大小永远不会超过上述调用树的深度。程序首先执行所有最左边的调用，然后向右转，当 F0 或 F1 调用返回时，它们对应的堆栈帧被弹出。

在下图中，每个矩形代表一个函数调用，箭头代表程序到达递归结束所经过的路径：

这里我们可以注意到，当程序到达调用F4F3F2F1并返回1时，它又回到它的父调用F4F3F2执行右递归子调用F4F3F2F0，当F4F3F2F0和F4F3F2F1调用都返回时，程序返回到 F4F3。所以栈永远不会超过最长路径F4F3F2F1的大小。

程序将遵循同样的执行模式，从父节点到子节点，在执行左右调用后返回父节点，直到到达所有 F4 的最后一个根父节点，得到计算得出的斐波那契之和为 3。