斐波那契算法的时间复杂度答案

【问题标题】：Time Complexity of Fibonacci Algorithm [duplicate]斐波那契算法的时间复杂度
【发布时间】：2023-03-07 11:09:01
【问题描述】：

所以，我在 Java 中有一个递归方法来获取第 n 个斐波那契数 - 我唯一的问题是：时间复杂度是多少？我认为它是 O(2^n)，但我可能弄错了？（我知道迭代要好得多，但这是一种练习）

public int fibonacciRecursive(int n)
{
    if(n == 1 || n == 2) return 1;
    else return fibonacciRecursive(n-2) + fibonacciRecursive(n-1);
}

【问题讨论】：

【解决方案1】：

您的递归代码具有指数运行时间。但我不认为基数是 2，而可能是黄金比例（大约 1.62）。但当然 O(1.62^n) 也自动成为 O(2^n)。

运行时间可以递归计算：

t(1)=1
t(2)=1
t(n)=t(n-1)+t(n-2)+1

这与斐波那契数本身的递归定义非常相似。递归方程中的+1 可能与大 n 无关。 S 我相信它的增长速度大约与斐波那契数一样快，并且以黄金比例为基础呈指数增长。

您可以使用记忆来加速它，即缓存已经计算的结果。然后它有 O(n) 运行时间，就像迭代版本一样。

您的迭代代码的运行时间为 O(n)

您有一个简单的循环，其中包含 O(n) 步和每次迭代的恒定时间。

【讨论】：

啊，对不起，我发布了错误的代码。我需要递归的！我的错，将在几秒钟内编辑。
@lars 这就是我写“当然 O(1.62) 也自动成为 O(2)”的原因。但是知道比 2^n 更接近的上限仍然很有趣。
O(? ^ n) = O(2 ^ n) 不直接遵循 O(?) = O(2)，因为 O(n^?) != O(n²)。我对此并不特别感兴趣，因为这个问题有一个 O(lg n) (O(n) in the number of bits) 算法。
@lars 抱歉，这是一个错字。我想写O(1.62^n) 自动是O(2^n) 但忘了^n

【解决方案2】：

你可以用这个

在 O(log n) 中计算 Fn

【讨论】：

【解决方案3】：

每个函数调用只执行一次加法，或返回 1。基本情况仅返回值 1，因此加法的总数为 fib(n)-1。因此函数调用的总数为2*fib(n)-1，因此时间复杂度为Θ(fib(N)) = Θ(phi^N)，以O(2^N)为界。

【讨论】：

【解决方案4】：

O(2^n)?我在这里只看到 O(n)。

我想知道您为什么要继续计算和重新计算这些？只要内存要求不会变得太讨厌，缓存您拥有的那些不是一个好主意吗？

由于它们没有改变，如果速度对我很重要，我会生成一个表并进行查找。

【讨论】：

【解决方案5】：

很容易看出（并通过归纳证明）对 fibonacciRecursive 的调用总数完全等于返回的最终值。这确实是输入数字的指数。

【讨论】：