最大二分匹配（ford-fulkerson）答案

【问题标题】：maximum bipartite matching (ford-fulkerson)最大二分匹配（ford-fulkerson）
【发布时间】：2014-05-09 22:29:17
【问题描述】：

我正在阅读 http://www.geeksforgeeks.org/maximum-bipartite-matching/ 和 http://en.wikipedia.org/wiki/Ford%E2%80%93Fulkerson_algorithm 并且无法理解。似乎这个例子是在假设每个工作只能接受 1 人并且每个人想要一份工作的情况下。我想知道如果 v 集的容量 > 1（可以为该工作雇用多个人）并且 u 集 > 1（每个人想要超过 1 份工作），算法/代码将如何变化？

【问题讨论】：

你只需要在图的左侧和右侧的边容量 > 1 并像往常一样找到最大流量。您的算法需要更通用一些才能跟踪增广路径的瓶颈容量。您可以阅读有关 Ford-Fulkerson on Wikipedia 的信息
所以假设每个人都想要 2 个工作，每个工作有 3 个可用位置。图表会像这样吗？ i.imgur.com/B0SvQjU.png
中间的边应该有容量 1，除非您想多次将一个人分配给同一个工作（这可能是明智的，具体取决于您的用例）。然后在该图中找到最大流量并检查它是否等于 8（左侧容量总和）。如果没有，那么您就无法满足工作的所有需求

【解决方案1】：

要允许为工作分配多个人，您只需将边缘容量从 Jobs 修改为 Terminal（类似于 Niklas B. 在 his comment 中描述的方式，但不完全一样。）

像这样：

从Source 到 People 的容量为 1，从People 到 Jobs 的容量为 1 保证了一个人只会被选中从事一项工作（因为他们可以整体贡献的最大流量是 1)。但是，从Jobs 到Terminal 的容量> 1 允许将多个人分配给该工作。

如果一个人还可以完成一项以上的工作，那么从Source 到Person 的最大流量会增加该数量：

其中i、j、k 和 x 是值为 >= 1 的整数的替代项

这里要记住的关键是People 左侧的流动能力决定了他们可以从事多少工作，Jobs 右侧的流动能力决定了可以分配多少人从事该工作。中间的容量不应该改变。

【讨论】：