是否可以在摊销的亚线性时间内计算一组数字的最小值？答案

【问题标题】：Is it possible to compute the minimum of a set of numbers modulo a given number in amortized sublinear time?是否可以在摊销的亚线性时间内计算一组数字的最小值？
【发布时间】：2013-07-25 07:25:55
【问题描述】：

是否有一个数据结构表示一个大集合S（64 位）整数，它开始为空并支持以下两个操作：

insert(s)将数字s插入S；
minmod(m) 在S 中返回数字s，使得s mod m 最小。

一个例子：

插入(11) 插入(15) minmod(7) -> 答案是 15（mod 7 = 1）插入物(14) minmod(7) -> 答案是 14（mod 7 = 0） minmod(10) -> 答案是 11（其中 mod 10 = 1）

我有兴趣最小化花费在n 此类操作序列上的最大总时间。显然可以只为S 维护一个元素列表，并为每个minmod 操作迭代它们；那么insert是O(1)，minmod是O(|S|)，这将花费O(n^2)时间进行n操作（例如，n/2insert操作，然后是n/2minmod操作大约需要n^2/4操作）。

那么：对于一系列n 操作，是否有可能比O(n^2) 做得更好？也许O(n sqrt(n)) 或O(n log(n))？如果这是可能的，那么我也很想知道是否有数据结构另外允许从S 中删除单个元素，或者删除一个区间内的所有数字。

【问题讨论】：

如果n 是数组中元素的数量，那么这肯定是O(n) 吗？对于每个元素，计算x % m，并跟踪当前最小值。
抱歉，需要动态插入查询，在线回答查询，插入查询操作海量。
我已经编辑了问题以使其清楚。
模数有界吗？
@MatthewStrawbridge 我不认为他们都可以是 O(1) 你可能误解了这个问题

标签： algorithm data-structures

【解决方案1】：

另一个基于平衡二叉搜索树的想法，如Keith 的回答。

假设到目前为止所有插入的元素都存储在平衡 BST 中，我们需要计算 minmod(m)。将我们的集合S 视为数字子集的并集，位于 [0,m-1]、[m, 2m-1]、[2m, 3m-1] .. 等区间. 答案显然是我们在每个间隔中拥有的最小数字。因此，我们可以因此查找树以找到该间隔的最小数量。这很容易做到，例如如果我们需要在 [a,b] 中找到最小的数，如果当前值大于 a，我们将向左移动，并且否则，跟踪我们迄今为止遇到的 [a,b] 中的最小值。

现在如果我们假设 m 在 [1, 2^64] 中均匀分布，让我们计算我们需要的查询数量的数学期望。

对于 [2^63, 2^64-1] 中的所有 m，我们需要 2 个查询。发生这种情况的概率是 1/2。
对于 [2^62, 2^63-1] 中的所有 m，我们需要 4 个查询。发生这种情况的概率是 1/4。
...
对于 [1,64] 中的 k，数学期望将是 sum[ 1/(2^k) * 2^k ]，这是 64 个查询。

因此，总而言之，平均minmod(m)查询复杂度将是O(64*logn)。一般来说，如果我们 m 有未知的上限，这将是 O(logmlogn)。众所周知，BST 更新是 O(logn)，因此 n 个查询的总体复杂度将是 O(nlogm*logn).

【讨论】：

好吧，我没看懂，但这似乎是一个很好的解决方案。我想确认您是否输入错误，即“位于 [0,m-1 区间], [m, 2m-1], [2m, 2m-1]"，位于第三行。
抱歉，如果我不清楚，请告诉我您没有很好理解的部分，我会澄清。
非常感谢，我已经明白了。但是这个算法似乎只适合随机m，如果给定特殊输入，它可能会运行得很慢。
是的，我特别提到了均匀分布。当然可以给出这样的 m 来最大化查询数。但是，我认为没有比检查所有数字更好的算法了，比方说，如果有人想减慢您的速度，而每一步都选择了错误的 m。
非常好的答案。我还想指出，如果您需要检查的间隔数大于1/log(n)，您可以跟踪树的大小并回退到线性搜索。这将解决@algodynamic 关注的潜在问题。

【解决方案2】：

部分答案太大，无法评论。

假设您将S 实现为平衡二叉搜索树。

当你寻找 S.minmod(m) 时，你天真地走在树上，成本是 O(n^2)。

但是，在步行期间的给定时间，您获得了迄今为止最好（最低）的结果。在以下情况下，您可以使用它来避免检查整个子树：

bestSoFar < leftChild mod m

和

rightChild - leftChild < m - leftChild mod m

只有当集合中数字的公共间距小于m 的公共值时，这才会有很大帮助。

第二天早上更新...

Grigor 更好、更全面地表达了我的想法，并展示了它如何适用于“大型”m。他还展示了“随机”m 通常是如何“大”的，因此效果很好。

Grigor 的算法对于大的m 非常有效，以至于需要考虑小得多的m 的风险。所以很明显，您需要考虑m 的分布，并在需要时针对不同的情况进行优化。例如，可能值得简单地跟踪非常小的m 的最小模数。

但是假设m ~ 2^32？然后搜索算法（当然是给定的，但也不是）需要检查2^32间隔，这可能相当于搜索整个集合。

【讨论】：