在亚线性时间内计算类斐波那契函数

Question

那么，问题来了：

给定一个数字 n，我需要计算它需要递归计算该数字的斐波那契的调用量，并且只输出给定基数中的最后一位数字作为小数。输入有 2 个数字，第一个是数字 n，第二个是输出的基数。输出应该是案例编号、第一个输入、第二个输入和计算结果。当第一个条目等于等于 0 的第二个条目时，程序应该退出。例如：

输入：
0 100
1 100
2 100
3 100
10 10
3467 9350
0 0

输出：
案例一：0 100 1
案例 2：1 100 1
案例 3：2 100 3
案例 4：3 100 5
案例 5：10 10 7
案例6：3467 9350 7631

在尝试解决这个问题时，我已经得出了以下公式。作为 c(n) 以 b 为底的调用次数的最后一位，我们有：

c(n) = (c(n-1) + c(n-2) + 1) mod b

问题是 n 可以是 0 到 2^63 - 1 之间的任何值，所以我真的需要代码高效。我尝试过以迭代方式或使用动态编程，但是，虽然它给了我正确的输出，但它并没有在足够短的时间内给我。这是我的代码：

迭代

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main(){
    vector<unsigned long long int> v;
    unsigned long long int x,y,co=0;
    cin >> x >> y;
    while(x||y){
        co++;
        v.push_back(1);
        v.push_back(1);
        for(int i=2;i<=x;i++) v.push_back((v[i-1]+v[i-2]+1)%y);
        cout << "Case " << co << ": " << x << " " << y << " " << v[x] << endl;
        cin >> x >> y;
        v.clear();
    }
    return 0;
}

动态编程

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<unsigned long long int> v;

unsigned long long c(int x, int y){
    if(v.size()-1 < x) v.push_back((c(x-1,y) + c(x-2,y) + )%y);
    return v[x];
}

int main(){
    int x,y,co=0;
    cin >> x >> y;
    while(x||y){
        co++;
        v.push_back(1);
        v.push_back(1);
        cout << "Case " << co << ": " << x << " " << y << " " << c(x,y) << endl;
        cin >> x >> y;
        v.clear();
    }
    return 0;
}

x 和 y 分别是 n 和 b，v 保存 c(n) 的值

Answer 1

序列中的每个 c 都小于 b。所以 a c 的值有 b 种可能性。所以一对连续的元素 [c_k, c_k+1] 可以有 b² 个可能的值。所以如果你从头开始计算 c₁, c₂, c₃... 你最多只能计算 b2 在序列开始重复之前；你会得到一个 [c_k, c_k+1] 等于早先的 [c_j, c_{j +1}]。

那么你知道循环的长度，称它为S，你知道c_n = c_{((n-j)mod S)+j} 对于所有n > j。这应该会大大减少您的工作量。