找出以下循环的计算复杂度答案

【问题标题】：Find the computational complexity for the following loops找出以下循环的计算复杂度
【发布时间】：2013-11-08 12:42:00
【问题描述】：

For n=1 : Inner loop will execute 1 time.
For n=2 : Inner loop will execute 1+2 times.
For n=4 : Inner loop will execute 1+2+4 times.
For n=8 : Inner loop will execute 1+2+4+8 times.

。 . .

那么我怎样才能找到计算复杂度呢？

我的回答是：内循环迭代次数 = n+(n/2)+(n/4)+(n/8)+...+(n/n)

【问题讨论】：

不应该是For n=1,2,3,4而不是For n=1,2,4,8吗？然后执行的操作数是 2^n-1?
我选择 n=1,2,4,8... 以便更容易找到复杂性，因为 i=i*2。我不知道！

标签： big-o time-complexity asymptotic-complexity

【解决方案1】：

总时间复杂度为 Θ(n)。要看到这一点，请注意内部循环每次迭代都会做 Θ(i) 工作，并且 i 取值 1、2、4、8、16、32、...、2^{log n}。如果我们总结一下，使用几何级数之和的公式，我们得到

1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^{log n} = 2^{log n + 1} - 1 = 2 · 2^{log n - 1 = 2n - 1}

所以完成的总功是 Θ(n)。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

谢谢。但是为什么 2^logn 不是 n 呢？
@ammarx- 假设我们使用以 2 为底的对数，它们是相同的。

【解决方案2】：

您可以像下面这样正式地进行，以获得将要执行的指令的确切数量以及增长顺序：

【讨论】：