计算嵌套循环的时间复杂度

Question

在我坚持了几天的关于 Big O 时间复杂度分析的测试中遇到了这个问题：

下面是C代码：

   if ( A > B ) {
       for ( i=0; i<n^2/100; i++ ){     //1
           for ( j=n^2; j>i; j-- ){     //2
               A += B;}}
   }
   else {
       for ( i=0; i<2n; i++ ){         //3   
           for ( j=3n; j>i; j-- ){     //4
               A += B;}}
   }

我的第一直觉是这个算法会有一个 O(n²) 的大 O 和嵌套的 for 循环等，但它不是一个多项选择回答。尝试手动计算每个循环迭代，但无法计算每个内部循环（2 和 4）中 i 的变化。尝试将其写为总和时也遇到了麻烦。

Answer 1

考虑A > B 的第一种情况。对于外部循环迭代的每个i 值，内部循环执行等于n^2 - i 的迭代次数。考虑n = 2 和i = 1。 n^2 = 4 和内部循环迭代 j = 4, j = 3, j = 2，三个迭代，与我们的发现一致。

因此，内部循环的总迭代次数是所有n^2 - i 的总和，其中i 从0 变化到floor(n^2/100) - 1。让我们定义k := floor(n^2/100) - 1。那么这个总和等于kn^2 - k(k+1)/2。替换k 所代表的表达式，我们恢复[floor(n^2/100) - 1]n^2 - [floor(n^2/100) - 1][floor(n^2/100)]/2。这不大于(n^2/100 - 1)n^2 - (n^2/100 - 1)(n^2/100)/2。我们可以乘以得到n^4/100 - n^2 - n^4/20000 + n^2/200 = n^4(1/100 - 1/20000) - n^2(1 - 1/200)。由此我们可以看出，第一种情况的时间复杂度为O(n^4)。确实，也是Omega(n^4)和Theta(n^4)。

在A <= B的情况下，分析类似。很容易证明，第二种情况的时间复杂度是O(n^2)，Omega(n^2)，因此是Theta(n^2)。

因此，我们可以自信地说：

• 最坏情况时间复杂度为O(n^4)；
• 最佳情况时间复杂度为Omega(n^2)；
• 实际上每个边界都可以指定为Theta 边界。