平衡树的定义答案

【问题标题】：Definition of a Balanced Tree平衡树的定义
【发布时间】：2011-11-04 20:56:17
【问题描述】：

我只是想知道是否有人可以为我澄清平衡树的定义。我有“如果每个子树都是平衡的并且两个子树的高度最多相差一个，那么一棵树是平衡的。

如果这是一个愚蠢的问题，我深表歉意，但这个定义是否适用于每个节点，一直到树的叶子，还是只适用于紧邻根部的左右子树？我猜想另一种方式是，一棵树的内部节点是否可能不平衡而整个树保持平衡？

【问题讨论】：

只是想补充一点，我们正在谈论 Comp。子树的科学定义：树 T 的子树是由 T 中的一个节点及其在 T 中的所有后代组成的树。对于常规的数学定义（树的子图本身就是一棵树），这是不正确的.

标签： tree

【解决方案1】：

约束通常递归地应用于每个子树。也就是说，只有在以下情况下，树才是平衡的：

左右子树的高度最多相差 1，并且
左子树是平衡的，并且
右子树是平衡的

据此，下一棵树是平衡的：

     A
   /   \
  B     C  
 /     / \  
D     E   F  
     /  
    G

下一个是不平衡的，因为 C 的子树的高度相差 2：

     A
   /   \
  B     C   <-- difference = 2
 /     /
D     E  
     /  
    G

也就是说，第一个点的具体约束取决于树的类型。上面列出的是AVL trees 的典型。

Red-black trees，例如，施加更软的约束。

【讨论】：

这看起来是最好的答案，除了应该提到的是，balanced tree 可以是非二进制的。

【解决方案2】：

有几种方法可以定义“平衡”。主要目标是保持所有节点的深度为O(log(n))。

在我看来，您所说的平衡条件适用于 AVL 树。
下面是AVL树的平衡条件的正式定义：

对于 AVL 中的任何节点，其左子树的高度与其右子树的高度相差最多 1。

下一个问题，什么是“height”？

二叉树中节点的“高度”是从该节点到叶子的最长路径的长度。

有一种奇怪但常见的情况：

人们将空树的高度定义为(-1)。

例如root的左孩子是null：

              A  (Height = 2)
           /     \
(height =-1)       B (Height = 1) <-- Unbalanced because 1-(-1)=2 >1
                    \
                     C (Height = 0)

再确定两个例子：

是的，平衡树示例：

        A (h=3)
     /     \
 B(h=1)     C (h=2)        
/          /   \
D (h=0)  E(h=0)  F (h=1)
               /
              G (h=0)

不，不是平衡树示例：

        A (h=3)
     /     \
 B(h=0)     C (h=2)        <-- Unbalanced: 2-0 =2 > 1
           /   \
        E(h=1)  F (h=0)
        /     \
      H (h=0)   G (h=0)

【讨论】：

请注意，此定义允许平衡树的不平衡子树。（例如，通过将一个子节点添加到 D 并将另一个子节点添加到 G 来扩展上面的平衡树示例）这是有意的吗？
不，它没有。 “对于 AVL 中的任何节点，其左子树的高度与其右子树的高度最多相差 1。”如果您将一个孩子添加到 D，那么 B 将不会遵循上述规则。因此，这棵树不会是 BBT。
你的回答很冗长而且不准确

【解决方案3】：

这两件事没有区别。想一想。

让我们采用一个更简单的定义，“一个正数是即使它为零，或者那个数字减二是偶数。”这是否说 8 是偶数，即使 6 是偶数？还是说 8 是偶数，而 6、4、2 和 0 是偶数？

没有区别。如果它说 8 即使 6 是偶数，它也说 6 即使 4 是偶数。因此它也说 4 即使 2 是偶数。因此它说 2 是即使 0 是偶数。所以如果它说 8 即使 6 是偶数，它（间接地）说 8 是即使 6、4、2 和 0 是偶数。

这里也一样。任何间接子树都可以通过直接子树链找到。所以即使它只直接应用于直接子树，它仍然间接应用于所有子树（以及所有节点）。

【讨论】：

假设根的值为 15。在右边，我有 16、17、18。在左边我有 14,13,12。那是一棵平衡的树吗？离开节点的每个子树的高度都在 1 以内。但是把根下的第一个节点向右取，它没有左孩子，但它的右孩子的高度是2。所以这个节点是不平衡的。对吗？
正确。因此树是不平衡的。
因此，为了平衡树 - 每个节点都必须平衡。美丽 - 非常感谢您的帮助。
@DavidSchwartz 为什么我们要尝试使用平衡树？我们为什么要关心一棵树是否平衡？
这是迄今为止我在 SO 上看到的最复杂的答案 - 对于任何问题。很抱歉这么说。

【解决方案4】：

平衡树是高度为log（树中元素数）顺序的树。

height = O(log(n))
O, as in asymptotic notation i.e. height should have same or lower asymptotic
growth rate than log(n)
n: number of elements in the tree

“一棵树平衡，每个子树平衡，两个子树的高度最多相差一个”的定义是AVL树。

由于 AVL 树是平衡的，但并非所有平衡树都是 AVL 树，因此平衡树不包含此定义，并且它们的内部节点可能是不平衡的。但是，AVL 树需要平衡所有内部节点。

【讨论】：

【解决方案5】：

平衡树的目标是以最少的遍历（最小高度）到达叶子。树的度数是分支数减 1。平衡树可能不是二叉树。

【讨论】：

【解决方案6】：

树中节点的高度是从该节点向下到叶子的最长路径的长度，包括路径的开始和结束顶点。
如果其子树的高度相差不超过 1，则树中的节点是高度平衡的。
如果树的所有节点高度平衡，则树的高度平衡。

【讨论】：

可以说更简单。 A tree where no leaf is much farther away from the root than any other leaf.
诸如“更远”之类的陈述是模棱两可的。在代码中实现需要一个精确的定义。
布鲁。 As close to the root as the closest leaf node or only one node farther 然后。还是简单多了
以上给出的是官方定义。它可以使用递归轻松实现。
@parsecer 的简单性在哪里：no leaf is much farther away from？我不得不读了 3 遍以上，仍然没有那么流畅地理解。