从子树的平衡性证明树是平衡的

Question

我正在解决“Cracking the Coding Interview”中的以下问题：实现一个函数来检查二叉树是否平衡。平衡树是一棵树，使得任何节点的两个子树的高度都不会相差超过 1。

本书的示例解决方案（复制如下）假设从节点发出的树是平衡的，如果 (a) 节点的左子树和右子树是平衡的； (b) 节点本身是平衡的。我试图理解为什么会这样？上述两个条件的满足如何证明从节点发出的整棵树是平衡的？

谢谢

public static boolean isBalanced(TreeNode root)
{
    if (checkHeight(root)==-1)
        return false;
    return true;
}


public static int checkHeight(TreeNode root)
{
    //base case
    if (root == null)
        return 0;

    //is left subtree balanced
    int leftHeight = checkHeight(root.leftChild);

    if (leftHeight == -1)
        return -1;

    //is right subtree balanced
    int rightHeight = checkHeight(root.rightChild);

    if (rightHeight == -1)
        return -1;

    //is current node balanced
    int heightDiff = leftHeight - rightHeight;

    if (Math.abs(heightDiff) > 1)
        return -1;

    return (Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1);
}

Answer 1

这是递归的应用——例程计算被检查节点的左右子树的高度，同时递归地验证子树。如果发现任何不平衡的节点或子树高度正常，则返回-1。子树高度的比较决定了当前节点是否平衡。

顺便说一句，在整个 checkHeight() 函数中将 root 替换为 currnode 以明确例程如何递归地应用于树中的每个节点，而不仅仅是其根。

Answer 2

平衡二叉树是左右子树的总深度相差不超过一个[1]。这里提出的解决方案是递归的，首先检查孩子自己是否平衡，然后检查父母是否平衡。它通过检查孩子的左右子树的深度来做到这一点，如果它们之间的深度最多相差 1，则返回max(left_depth,right_depth)+1。如果不是，则返回-1。然后该算法对整个树继续此操作。如果任意点的深度为 -1（表明子树不平衡），则子树的总深度返回为 -1。最后，只需检查树的总深度是否为 -1：如果是，则树不平衡，否则，它是。

这是归纳形式的算法：

• 基本情况

  叶节点 - 平凡平衡，有 0 个子节点。它返回 1，因为 深度将包括孩子的数量（0）以及 节点本身。

• 归纳案例

  一个中间节点，如果孩子们是平衡的 平衡，并且左孩子的深度与右孩子的深度最多相差1。 如果平衡，则返回max(left_depth,right_depth) + 1，代表树的总深度， 包括节点本身。如果不平衡，只需返回-1。

• 终于

  根节点，检查类似于归纳情况，但如果平衡，则 整棵树是平衡的，总深度为max(left_depth,right_depth) + 1，其中left_depth和right_depth代表左/右子树相对于根节点的深度。

可以在here 找到之前提出的 SO 问题，该问题涵盖了编写 BST 的几个非常有趣的方面。

Answer 3

既然你问了，这里再介绍一些归纳：

https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation

忘记你所知道的关于感应的一切，这是真实的。如果我们有一些关系 R，当且仅当不存在无限下降链 x1，x2，x3，... 与 x1 R x2，x2 R x3 等等时，R 被称为是有根据的。 （“降序”是因为人们在考虑

例如，

有了良好的关系，你就有了

(对于所有 x : (对于所有 y : x R y -> P(y)) -> P(x)) 对于所有 x : P(x)

换句话说，证明所有最小元素 wrt 就足够了。 R 有一些性质，然后证明如果所有比一些 x 小的元素都满足 P，那么 x 也满足。

特例是你可能知道的归纳法：

(P(0) & for all n: P(n) -> P(n+1)) -> for all n: P(n) （这里有根据的关系是后继函数）

对于有限树，子树关系（显然）是有根据的，所以我们可以这样做（实际上让我们使用传递闭包，使证明更短。它仍然是有根据的）：

基本情况：（叶子，这些是最小的 wrt 子树关系） 有 0 个孩子的叶子是平衡的，很简单

感应： 假设所有子树（及其子树等）都是平衡的，并且根节点是平衡的，所有节点都是平衡的，没有剩余的节点可能是不平衡的（看看我在这里做了什么？）

如果我们还注意到平衡意味着子树是平衡的，我们可以不使用传递闭包来完成此操作。那么我们可以说直接子树平衡意味着它们的所有子树也都是平衡的，我们回到我的证明。