斐波那契数列。时间复杂度答案

【问题标题】：Fibonacci sequence. Time Complexity斐波那契数列。时间复杂度
【发布时间】：2017-04-09 17:27:14
【问题描述】：

首先 - 是的，我知道有很多类似的问题，但我仍然不明白。

所以这段代码的 Big-O 表示法是 O(2^n)

 public static int Fibonacci(int n)
    {
        if (n <= 1)
            return n;
        else
            return Fibonacci(n - 1) + Fibonacci(n - 2);
    }

即使我使用 6 来运行它，函数也会被调用 25 次，正如您在这张图片中看到的那样：

Fibonacci 不应该是 64 因为 O(2^6) = 64 吗？

【问题讨论】：

那个代码是错误的，它给Fib(0) 是0，而它应该是1
@Alexander 这取决于您是引用 fib(0) = fib(1) = 1 还是 fib(1) = fib(2) = 1，两者都可以 - 仅取决于您从哪里开始索引。
感谢您指出这一点。
另外：O(2^(n - 1)) 仍然是 O(2^(n))。当n 接近无穷大时，n 会胜过常数的偏移量。

标签： recursion time-complexity fibonacci

【解决方案1】：

这里的逻辑很少有问题：

大 O 表示法仅给出上渐近界，而不是紧界，这就是 big Theta 的用途。
斐波那契实际上是Theta(phi^n)，如果您正在寻找更紧密的界限（其中phi 是“黄金比例”，phi ~= 1.618。
在谈论渐近表示法时，谈论小数并忽略常数没有多大意义 - 因为它们因渐近复杂性而被省略（但这里不是这种情况）。

在这里，问题是斐波那契确实是O(2^n)，但这个界限并不紧密，因此实际调用次数将低于估计的调用次数（对于足够大的n，向前）。

【讨论】：

谢谢，我现在有了更好的理解。请您看一下这个 - Fibonacci 在这个线程上有一个“绘制”金字塔以直观地展示如何获得 O(2^n) 的人的答案。他使用相同的算法并从Fib(6) 开始，不知何故设法得到64。这是我不明白的部分。你能评论一下吗？
@Daniel 那里已经有 Avik 的评论，说金字塔是错误的，因为 F(3) 被调用了 3 次，而不是 4：F(6) = F(5) + F( 4) = F(4) + F(3) + F(3) + F(2) = F(3) + F(2) + F(3) + F(3) + F(2)。（下一行也会出现同样的错误）。