如何在 C 或 C++ 中实现二分匹配算法（可能基于最大流算法）？
具体来说，我在一个文件中有这个输入： (1,3) (1,5) (2,5)
(M,F) --> 其中 M 代表 MALE 的 id，F 是 FEMALE 的 id。
我需要找到匹配的最大数量并显示匹配的情侣。 喜欢： 匹配： 1&3 , 2&5
我读过一些书，我可以将这个问题建立在“网络中的最大流量”算法上，但除了“这个问题可以通过......算法解决”这句话之外，我找不到任何具体信息”。 我对最大流量知之甚少，也不知道如何实现它......
【问题讨论】：
标签： c++ c algorithm graph matching
是的，二分匹配可以减少到最大流量：
您将获得一组节点 M 和 F。如果您的文件中有 (m, f) 对，则添加从 M 中的节点 m 到 F 中的节点 f 的有向边。
将单个节点S 与S 的有向边添加到M 中的每个节点（这是您的“超级源”节点）。
添加单个节点T，从F 中的每个节点到T（这是您的“超级接收器”节点）都有一条有向边。
现在，您需要找到从 S 到 T 的最大流量（所有边的权重为 1）。
那么最大流量到底是什么？从S 到T 的流 是一组边，对于每个节点（S 和T 除外），其in-flux 的权重em> 边与其 out-flux 边的权重相同。想象一下，您的图表是一系列管道，您将水倒入系统S 并在T 放水。在中间的每个节点处，进水量必须与出水量相同。
尝试说服自己，流程对应于您的原始集合的匹配。 （给定一个flow，怎么得到一个matching？给定一个matching，怎么得到一个flow？）
最后，要在图中找到最大流量，您可以使用Ford-Fulkerson algorithm。上面的维基百科页面很好地描述了它，并带有伪代码。
【讨论】：
是的，如果您已经有了解决最大流量问题的代码，您可以使用它来解决二分匹配问题，方法是像 this 讲座末尾所示的那样变换图形，但如果您这样做，那可能不是正确的方法正在从头开始。如果您只想实现一些相当简单的代码来解决不太大的示例问题，那么您最好使用here 概述的简单增强路径方法。这为您提供了一种 O(|V||E|) 方法，该方法非常容易编码，并且适用于除非常大的图形之外的所有图形。如果您想要具有更好的最坏情况性能的东西，您可以尝试Hopcraft-Karp 算法，该算法一次找到多个扩充路径并且具有 O(sqrt(|V|)|E|) 运行时间限制，但是 Wikipedia 文章上面指出：
有几位作者表演过 二分法的实验比较 匹配算法。他们的结果在 一般倾向于表明 Hopcroft–Karp 方法在 理论上的实践：它是 比两者都更简单 广度优先和深度优先 寻找增广的策略 路径，并通过推送重新标记 技术。
在任何情况下，在尝试解决 Hopcraft-Karp 或 Wikipedia 文章参考文献中提到的可推送技术之一之前，您绝对应该了解并能够实现简单的增广路径方法。
编辑：由于某种原因，上面的链接没有正确显示。以下是有问题的 URL：(http://oucsace.cs.ohiou.edu/~razvan/courses/cs404/lecture21.pdf)、(http://www.maths.lse.ac.uk/Courses/MA314/matching.pdf) 和 (http://en.wikipedia.org/wiki/Hopcroft–Karp_algorithm)。
【讨论】：
QuickGraph 库包含一个二分匹配算法，我刚刚研究并检查了一个修复程序。它包装了 Edmonds Karp 最大流量算法。
到目前为止，该算法的唯一文档是我添加的单元测试。如果有人想添加一个（希望更快）不简单地包装 maxflow 算法的实现，请与我联系。
【讨论】：
这里是最大二分匹配流算法的实验研究：
@article{cherkassky98,
author = {Boris V. Cherkassky and Andrew V. Goldberg and Paul Martin and Joao C. Setubal and Jorge Stolfi},
title = {Augment or Push: A Computational Study of Bipartite Matching and Unit Capacity Flow Algorithms},
journal = {Journal of Experimental Algorithmics},
volume = 3,
number = 8,
year = 1998
}
获胜者是推送重新标记算法，我相信它是 Andrew Goldberg 的“BIM”包中的实现，您可以在此处下载：
http://www.avglab.com/andrew/soft.html
请注意，如果您自己编写解决方案很重要，您可能希望按照 Jesse 的建议选择 Ford-Fulkerson。如果你这样做，我建议你使用广度优先搜索，而不是深度优先搜索，来查找增广路径（原因在上面的文章中解释过）。
【讨论】：
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
void main()
{
int m,n,x,y,i,j,i1,j1,maxvalue;
float s[10][10] = {0,0};
int s2[10][10] = {0,0};
float f[20][20] = {0,0};
float f1[20][20] = {0,0};
float f2[20][20] = {0,0};
printf("\nEnter Number of Jobs(rows) and Machines(columns) of Matrix:\n");
scanf_s("%d%d",&m,&n);
printf("\nEnter the Pij elements of matrix:\n");
for(x=1;x<m+1;++x)
for(y=1;y<n+1;++y)
scanf("%f", &s[x][y]);
//Find sum of each row
for(x=1;x<m+1;++x)
{
s[x][n+1]=0;
for(y=1;y<n+1;++y)
s[x][n+1]=s[x][n+1]+s[x][y];
//Find sum of each column
for(y=1;y<n+1;++y)
{
s[m+1][y]=0;
for(x=1;x<m+1;++x)
s[m+1][y]+=s[x][y];
}
printf("\nMatrix s, Row Sum (Last Column) and Column Sum (Last Row) : \n");
printf("\ns:\n");
for(x=1;x<m+2;++x)
{
for(y=1;y<n+2;++y)
printf(" %2.0f " , s[x][y]);
printf("\n");
}
//Print sum of each column
/*x=n+1;
for(y=1;y<m+1;++y)
printf(" %2.0f " , s[x][y]);*/
printf("\n");
maxvalue = s[1][1];
for(x=1; x<m+2; ++x)
for(y=1; y<n+2; ++y)
{
if(maxvalue < s[x+1][y+1])
maxvalue = s[x+1][y+1];
}
printf("\n");
printf("maxvalue = %d" , maxvalue);
printf("\nd1:\n");
float d1[20][20] = {0,0};
for(i=1;i<=m;++i)
{
for(j=1;j<=m;++j)
{
if(i==j)
d1[i][j] = maxvalue - s[i][n+1];
printf(" %2.0f " , d1[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\nd2\n");
float d2[20][20] = {0,0};
for(i=1;i<=n;++i)
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
if(i==j)
d2[i][j] = maxvalue - s[m+1][j];
printf(" %2.0f " , d2[i][j]);
}
printf("\n");
}
//row diff:
printf("\n\nRow diff:\n");
float r[20]= {0};
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
{
if(i == j)
{
r[i] = maxvalue - d2[i][j];
printf("%f ",r[i]);
}
}
//col diff:
printf("\n\nCol diff:\n");
float c[20]= {0};
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
{
if(i == j)
{
c[i] = maxvalue - d1[i][j];
printf("%f ",c[i]);
}
}
//assignment matrix:
float am[20][20]={0};
i=j=1;
ITERATION1:
if((c[i]<r[j]) && i<=m && j<=n)
{
am[j][i]=c[i];
r[j]=r[j]-c[i];
c[i]=0;
i++;
}
else if((c[i]>r[j]) && i<=m && j<=n)
{
am[j][i]=r[j];
c[i]=c[i]-r[j];
r[j]=0;
j++;
}
else if((c[i]==r[j]) && i<=m && j<=n)
{
am[j][i]=r[j];
c[i]=r[j]=0;
i++;j++;
}
else
goto END;
for(int z=0;z<=n;z++)
{
if(c[z]==0)
continue;
else
goto ITERATION1;
}
for(int b=0;b<=m;b++)
{
if(r[b]==0)
continue;
else
goto ITERATION1;
}
END:
printf("\n\nASSIGNMENT MATRIX:\n");
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
printf(" %2.0f ",am[i][j]);
}
printf("\n");
}
printf("\n\nf:\n");
for(i=1; i<(m+n)+1;++i)
{
for(j=1;j<(m+n)+1;++j)
{
if((i<=m) && (j<=n))
{
f[i][j]=s[i][j];
}
if((i<=m)&&(j>n))
{
f[i][j] = d1[i][j-n];
}
if((i>m)&&(j<=n))
{
f[i][j] = d2[i-m][j];
}
if((i>m)&&(j>n))
{
f[i][j] = am[i-m][j-n];
}
printf(" %2.0f " , f[i][j]);
}
printf("\n");
}
//printf("\n\nf1:\n");
for(i=1; i<(m+n)+1;++i)
{
for(j=1;j<(m+n)+1;++j)
{
f1[i][j]=f[i][j];
//printf(" %2.0f " , f1[i][j]);
}
//printf("\n");
}
int cnt = 0;
ITERATION2:
for(i=1; i<(m+n)+1;++i)
{
for(j=1;j<(m+n)+1;++j)
{
f2[i][j] = -1;
}
}
for(i=1; i<(m+n)+1;++i)
{
for(j=1;j<(m+n)+1;++j)
{
if(f1[i][j]!=0 && f2[i][j]!=0)
{
f2[i][j] = f1[i][j];
for(j1=j+1;j1<(m+n)+1;++j1)
f2[i][j1] = 0;
for(i1=i+1;i1<(m+n)+1;++i1)
f2[i1][j] = 0;
}
}
}
//printf("\n\nf2:\n");
for(i=1; i<(m+n)+1;++i)
{
for(j=1;j<(m+n)+1;++j)
{
if(f2[i][j] == -1)
{
f2[i][j] = 0;
}
//printf(" %2.0f " , f2[i][j]);
}
//printf("\n");
}
//printf("\n\nf1:\n");
for(i=1; i<(m+n)+1;++i)
{
for(j=1;j<(m+n)+1;++j)
{
if(f2[i][j] != 0)
{
f1[i][j] = f1[i][j] - 1;
}
//printf(" %2.0f " , f1[i][j]);
}
//printf("\n");
}
cnt++;
printf("\nITERATION - %d", cnt);
printf("\n\Gant Chart:\n");
for(i=1; i<=m;++i)
{
for(j=1;j<=n;++j)
{
if(f2[i][j] != 0)
{
s2[i][cnt] = j;
printf(" J%d -> M%d", i,j);
}
}
printf("\n");
}
int sum = 1;
for(i=1; i<(m+n)+1;++i)
{
for(j=1;j<(m+n)+1;++j)
{
sum = sum + f1[i][j];
}
}
if(sum>1)
goto ITERATION2;
else
goto END2;
END2:
printf("\n\Final Gant Chart:\n");
for(i=1; i<=m;++i)
{
for(j=0;j<=cnt;++j)
{
if(j == 0 )
printf(" J%d -> ", i);
else
{
if(s2[i][j] !=0)
printf(" M%d ", s2[i][j]);
else
printf(" %2c ", ' ');
}
}
printf("\n");
}
getch();
}
【讨论】：