如何计算嵌套“for”循环的时间复杂度？答案

【问题标题】：How do I calculate the time complexity of a nested 'for' loop?如何计算嵌套“for”循环的时间复杂度？
【发布时间】：2019-09-19 18:18:12
【问题描述】：

考虑：

def fun(n):

    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n, i):
            print (i, “,”, j)

我在使用嵌套的 for 循环时遇到问题。是 2n^2 + 2n + 1 吗？

【问题讨论】：

注意i 作为步骤。
Time complexity of nested for-loop的可能重复
@CeliusStngher：上面不是完全重复的，因为这里的步骤是i，而不是1。

标签： python time-complexity big-o

【解决方案1】：

内部循环从1（包括）到n（不包括）以i 的跃点运行。因此，这意味着它将执行(n-1)//i 步骤。

外部循环使n 在i 的范围从1 到n 处运行。我们可以通过将步数计算为总和来稍微高估总步数：

 n                    n
---                  ---
\     n-1            \    1
/     ---    = n-1 * /   ---
---    i             ---  i
i=1                  i=1

我们可以在这里使用斯特林近似：我们知道积分 if 1/i 将介于 1/(i+1) 和 之和之间>1/i.

1/i的积分，所以我们近似为：

 n         n
---        /\
\    1     |    1
/   ---  &approx; |   --- dx  = log(n) - log(1)
---  i    \/    x
i=1        1

所以这意味着总步数是，以大哦 O(n log n).

【讨论】：

【解决方案2】：

您的代码复杂度为O(n log n)。在第一个 for 循环中，复杂度是 O(n/i)，我们总共有：

O(n/1) + O(n/2) + ...+ O(n/i)+...+O(1)

等于：

n O( 1 + 1/2 + ... + 1/n ) = n O(log(n)) = O(n log(n))

【讨论】：

不，不是。外部 for 循环是 O(n)。不是吗？
它是内循环 O(n) 的倍数，因为步长是 1
O(n) 只发生一次，它是第一个循环的第一次迭代。