Dijkstra 算法可以在权重为 0 的图上工作吗？

Question

如果存在加权图G，并且所有权重都是0，Dijkstra 的算法是否仍能找到最短路径？如果有，为什么？

根据我对算法的理解，如果没有边权重，Dijsktra 的算法将像正常的 BFS 一样运行，但我希望能得到一些澄清。

Answer 1

说明

根据算法的定义，Dijkstra 本身对0 权重没有任何问题。只有负权重才会有问题。

因为在每一轮中，Dijkstra 都会解决一个节点。如果您稍后发现负加权边，这可能会导致到达该已解决节点的更短路径。然后该节点需要unsettled，而Dijkstras 算法不允许（并且会破坏算法的复杂性）。如果你看一下实际的算法和一些插图，就会清楚。

Dijkstra 在这种全零-图上的行为与所有边都具有不同但相同的值相同，例如1（除了得到的最短路径长度）。 Dijkstra 将简单地访问所有节点，没有特定的顺序。基本上，就像普通的广度优先搜索。

---

详情

看看Wikipedia的算法描述：

 1 function Dijkstra(Graph, source):
 2
 3     create vertex set Q
 4
 5     for each vertex v in Graph:           // Initialization
 6         dist[v] ← INFINITY                // Unknown distance from source to v
 7         prev[v] ← UNDEFINED               // Previous node in optimal path from source
 8         add v to Q                        // All nodes initially in Q (unvisited nodes)
 9
10     dist[source] ← 0                      // Distance from source to source
11      
12     while Q is not empty:
13         u ← vertex in Q with min dist[u]  // Node with the least distance
14                                           // will be selected first
15         remove u from Q 
16          
17         for each neighbor v of u:         // where v is still in Q.
18             alt ← dist[u] + length(u, v)
19             if alt < dist[v]:             // A shorter path to v has been found
20                 dist[v] ← alt 
21                 prev[v] ← u 
22
23     return dist[], prev[]

负值的问题在于15 和17 行。当您删除节点 u 时，您解决它。也就是说，您说现在知道到该节点的最短路径。但这意味着您不会再将u 视为其他节点的邻居（因为它不再包含在Q 中）。

对于负值，您稍后可能会发现到该节点的路径更短（由于负权重）。您需要在算法中再次考虑u，并重新执行依赖于u 的先前最短路径的所有计算。因此，您需要添加u 以及从Q 中删除的所有其他节点，这些节点在最短路径上具有u，返回Q。

特别是，您需要考虑可能通向目的地的所有边缘，因为您永远不知道某些讨厌的-1_000_000 加权边缘隐藏在哪里。

下面的例子说明了这个问题：

Dijkstra 将红色路径声明为从A 到C 的最短路径，长度为0。但是，有一条更短的路径。它标记为蓝色，长度为99 - 300 + 1 = -200。

使用负权重，您甚至可以创建一个更危险的场景，负循环。这是图中总权重为负的循环。然后，您需要一种方法来停止一直在循环中移动，无休止地降低您当前的体重。

---

注意事项

在无向图中，权重为0 的边可以消除，节点可以合并。它们之间的最短路径总是长度为0。如果整个图只有0 权重，那么图可以只合并到一个节点。每个最短路径查询的结果只是0。

如果您在两个方向上都有这样的边，则同样适用于有向图。如果没有，您将无法进行优化，因为您会更改节点的可达性。