Dijkstra 的负权重算法答案

【问题标题】：Dijkstra's Algorithm for Negative WeightsDijkstra 的负权重算法
【发布时间】：2015-04-18 08:51:50
【问题描述】：

好的，首先我知道 Dijkstra 不适用于负权重，我们可以使用 Bellman-ford 代替它。但是在一个问题中，我得到了它指出所有边的权重从 0 到 1（不包括 0 和 1）。而路径的成本其实就是产品。

所以我的想法就是拿日志。现在所有的边都是负的。现在我知道 Dijkstra 不适用于负权重，但在这种情况下，所有边都是负的，所以我们不能做点什么让 Dijkstra 起作用。

我虽然将所有权重乘以 -1，但最短路径变成了最长路径。

那么在这种情况下我是否可以避免使用 Bellman-Ford 算法。

确切的问题是：“假设对于某些应用程序，路径的成本等于路径中所有边的权重的乘积。在这种情况下，您将如何使用 Dijkstra 算法？所有边的权重是从 0 到 1（不包括 0 和 1）。”

【问题讨论】：

首先我假设图是有向的。现在，如果权重在 0 和 1 之间，并且成本是通过权重的乘积来衡量的，那么您确实在寻找最长的路径。如果图中有任何循环，则相当于一个负成本循环。
所以 Dijkstra 可以工作。我只需要找到最长的路径。另外，没有额外的要求，因此这就是我感到困惑的原因。
您确定不想要最可能的路径吗？
我已经给了你确切的问题。请阅读最后 3 行。
是的，我在发表评论时已经阅读了这些内容。有些人非常精确地要求他们没有意识到自己不想要的东西。

标签： algorithm dijkstra shortest-path

【解决方案1】：

如果图表上的所有权重都在(0, 1)范围内，那么总会有一个权重小于1的循环，因此你将永远卡在这个循环中（每次通过循环减少了最短路径的总权重）。可能你误解了这个问题，你要么想找到最长的路径，要么不允许两次访问同一个顶点。无论如何，在第一种情况下，dijkstra'a 算法绝对适用，即使没有 log 修改。而且我很确定第二种情况不能用多项式复杂度来解决。

【讨论】：

如果不允许我们两次访问同一个顶点怎么办？
@GeorgeAdams 这是我在回答中提到的第二种情况。您可以将问题简化为找到最长的路径，因此没有已知的多项式解决方案（查看这篇文章：cstheory.stackexchange.com/questions/17462/…）
完美答案。只是挑剔：你可以减少寻找最长的路径，这就是证明 NP 硬度的原因。

【解决方案2】：

所以你想使用一个函数，比如说F，你将应用于原始图的权重，然后使用 Dijkstra 算法，你会找到最短的产品路径。让我们也考虑下图，我们从节点A 和0 < x < y < 1 开始：

在上图中，F(x) 必须小于F(y)，Dijkstra 的算法才能正确输出来自A 的最短路径。

现在，让我们从节点A 重新开始绘制一个稍微不同的图表：

那么 Dijkstra 的算法将如何工作？

由于F(x) < F(y)，那么我们将在下一步选择节点B。然后我们将访问剩余的节点C。 Dijkstra 的算法将输出从A 到B 的最短路径是A -> B，从A 到C 的最短路径是A -> C。

但从A 到B 的最短路径是A -> C -> B，成本为x * y < x。

这意味着我们无法找到权重转换函数并期望 Dijkstra 算法在所有情况下都有效。

【讨论】：

【解决方案3】：

你写道：

我想将所有权重乘以 -1，但最后是最短的 path 成为最长的路径。

在最短和最长路径之间切换权重。所以1/3 将是3，5 将是1/5 等等。

【讨论】：

但是如果你反过来，它就不会再给出相同的答案了。假设你有 dist(a,c)=1, dist(a,b)=2, dist(b,c)=2。最长的路径是 a-b-c 成本 4。如果反过来，我们有 dist(a,c)=1, dist(a,b)=0.5, dist(b,c)=0.5。这里 a-b-c 和 a-c 的最短路径相同。

【解决方案4】：

如果您的图有循环，那么最短路径算法将找不到答案，因为这些循环总是“负循环”，正如 Rontogiannis Aristofanis 指出的那样。

如果您的图表没有循环，您根本不必使用 Dijkstra。

如果它是有向的，它是一个 DAG，并且有线性时间最短路径算法。

如果它是无向的，它就是一棵树，在树中找到最短路径是微不足道的。如果您的图是有向图，即使没有循环，Dijkstra 仍然无法工作，原因与它不适用于负边图一样。

在所有情况下，Dijkstra 都是一个糟糕的算法选择。

【讨论】：