现在我知道如果图形包含负权重边，Dijkstra 将无法工作。但有一个例外。 （只有离开源的边可以有负权重，而所有其他边必须是正的。）
我希望能够证明这一点。我不知道如何开始。我已经制作了一些图表，并且所有这些 Dijkstra 最终都能完美运行，但我不明白如何证明这一点？
所以我真正想要的是有人证明 Dijkstra 在这种情况下可以工作或不会（只有来自源的传出边是负的。）
另外，图表不能包含任何涉及源的循环。
【问题讨论】：
a->b->c->a，其中a 是源，w(a,b) = -5, w(b,c)=w(c,a)=1 该图有一个负循环，并且没有到任何节点的最短路径。
首先注意，如果没有涉及源的循环，我们可以修剪图的任何进入源的边，它不会影响结果，在Dijkstra的算法中不会到达导致源的顶点无论如何（否则，有一个涉及源的循环）。
从现在开始，我们将假设源没有传入边缘。
请注意，松弛步骤（三角不等式）所需的声明：d(u,v) <= d(u,x) + w(x,v) 必须（空虚地）为每个w(x,v) < 0 成立，唯一的u 存在从u 到x 的路径（其中是源）是u=x=source，路径是空路径。
这将我们引向d(u,x) + w(x,v) = 0 + w(x,v) = w(u,v) = d(u,v)（其中u 是源），不等式仍然成立。
【讨论】：
您可以简单地将一般初始实例 D 转换为可行实例 D'（即，仅包含正边缘值的实例），然后表明 Dijkstra 的算法在两个实例上的行为相同。由此您可以得出结论，Dijkstra 的算法在 D 形式的实例上是正确的。
以下是详细内容：
您可以通过插入一个只有一条边的“超级源”s' 将 D 转换为 D' - 距离 d(s',s) = -min{d(s,x) 的输出到 s |x 是一个节点}。这个实例等价于将 d(s',s) 添加到 s 的所有出边的实例，我们称之为 D'；它只有正边权重。
Dijkstra 算法在 D 和 D' 上的行为与队列中距离的排序保持相同，因此相同的节点以相同（移动的）距离等方式解决。请注意，在这个论点中，我们隐含地使用没有包含 s 的（负）循环。
因为我们知道 Dijkstra 算法在 D' 上找到了变换后图的正确距离，并且 D 和 D' 的最短路径的结构必须相同，我们可以得出结论，Dijkstra 算法在 D 形式的实例上是正确。
注意：您始终可以使用所谓的 Johnson Shift 来让 Dijkstra 的算法在没有负循环的图上正确执行。您也可以使用 Johnson Shift 进行证明，但这不是独立的。
【讨论】：