边权重有限的图上的 Dijkstra 算法答案

【问题标题】：Dijkstra's algorithm on a graph whose edge weights are limited边权重有限的图上的 Dijkstra 算法
【发布时间】：2013-04-29 06:01:37
【问题描述】：

假设我们想在一个边权重是整数的图上运行 Dijkstra 算法范围{1,2,...,W}，其中 W 是一个相对较小的数字。如何在O((|V|+|E|)logW)中找到顶点s到t的最短路径？

我在 S. Dasgupta、C. Papadimitriou 和 U. Vazirani 的《算法》一书中遇到了这个问题。我可以证明，如果我们像以前一样实现 Dijkstra 算法，那么在每次迭代中，优先级队列中节点的距离范围将在W 之内。但是，由于优先级队列没有将相同权重的元素放入同一个桶中的属性，因此这种观察并不能直接导致问题的解决。

谁能给我一些提示，告诉我如何更进一步，让W 为我工作的有界范围？

谢谢！

【问题讨论】：

嗯，通过计数/基数排序，优先级队列的排序可能会更快。同样更新（删除+插入）元素现在可以更快，因为队列可以是数组数组（或数组的排序映射）
在讲座Courses.MIT 中给出了解决方案（Bounded Integer Edge Weights 问题）。此外，它的时间复杂度是线性的$O(|V| + |E|)$。

标签： algorithm dijkstra

【解决方案1】：

您的优先队列中可以有多少个不同的号码？

解决方案 请注意，在您提取大小为 X 的节点之后（现在您放松了..）它可以达到的最大尺寸是X+W。所有其他数字都大于 X（因为您从队列中取出了最小值）所以队列中只有 O(W) 不同的数字，所以你可以将它用作二进制堆，然后每一步都将花费 O(logW)，所有这些将是： (V+E)logW。

【讨论】：

【解决方案2】：

我们表示最后一个 popmin 权重是 D，所以任何时候优先队列中的键都在 {D, D+1, \ldots, D+C} 的范围内（因为 D 刚刚更新，我们表示pop vertical as v ，则 v 可能会放宽与其相邻的一些垂直线，记为 v，因为 source 到 v 的距离是 D 并且边缘权重小于 C 所以 source 到 v 的新距离最多为 D+C )

我们和之前一样使用优先队列，优先队列元素是bucket。根据我们的分析，优先级队列中元素的最大数量是C+1

现在我们分析一下这个数据结构中的一些操作

popmin：因为优先级队列的最大元素个数是C+1，所以popmin取O(\log(C+1))

insert&update：因为优先队列的最大元素个数是C+1，所以insert&update需要O(\log(C+1))

我们发现 Dijkstra 算法需要更新 |E|轮次，每次更新需要 O(\log(C+1)) ，所以在所有更新故事中 O(|E|*O(\log(C+1)))

找到最小值 |V|需要轮次，每个 popmin 需要 O(\log(C+1)) ，所以在所有更新故事中 O(|V|*O(\log(C+1)))

所以这个算法总共需要 O(|E|*O(\log(C+1)))+O(|V|*O(\log(C+1))))=O(\log ( C+1)(|V|+|E|))=O((\log C)(|V|+|E|))

【讨论】：