Dijkstra 算法可以正常工作的负权图示例答案

【问题标题】：Example of graph with negative weights that Dijkstra's Algorithm will work correctlyDijkstra 算法可以正常工作的负权图示例
【发布时间】：2016-05-07 15:57:27
【问题描述】：

这不是问题的另一个重复，试图理解为什么 Dijkstra 不能使用负权重。我知道为什么，但在某些特殊情况下，它会使用负权重，我正在尝试找到它们。

因此，在某些情况下，Dijkstra 可以正确处理具有负权重的图，但我找不到示例。有谁知道图表，那会起作用吗？

【问题讨论】：

那么 Dijkstra 如果以直接的方式实现（每次放松一个节点，它就会被添加到 PQ）将始终有效，除非从源头可以到达一个负循环。但是对于非负数情况的运行时保证不成立，因为一个节点可以被多次处理，并且算法本质上变成了 bellmand-ford
@NiklasB。使用 Dijkstra 每个节点只处理一次。即使没有负循环，负权重边缘也会影响计算。这就是为什么通常负权重不起作用的原因。也许您正在考虑约翰逊的算法？ en.wikipedia.org/wiki/Johnson%27s_algorithm
@ErickG.Hagstrom 该算法有不同的表述。在实践中，如果您使用优先级队列，则不明确跟踪您已经完成的节点是有意义的，因此您可以理论上再次放宽已完成的节点，但这永远不会发生在非负图。负权重可能会发生这种情况，但这不会损害正确性（如果没有负循环）。也许我在这里稍微扩展了“Dijkstra 算法”的概念
@NiklasB。好的，当然，但我认为这不再是 Dijkstra。这是另一回事。特别是，您失去了与 Dijkstra 相关的 big-O，因为您可以任意次数地访问每个顶点。
是的，但只有负权重，这是我的观点。你可以称它为“Bellman-Ford 优先队列”，但实际上它只是 Dijkstra 的核心，在没有最差输入但可能只有几个负边缘的实际场景中它非常快跨度>

标签： algorithm graph dijkstra negative-number

【解决方案1】：

事实上，任何仅在源自start 的边上具有负权重的图都可以工作。负权重的问题在于，它们可能导致算法“错过”权重最低的顶点，因为它“稍后”获得了较低的权重。所以

| begin | end | weight |
|   s   |  1  |   -1   |
|   s   |  2  |   -2   |
|   1   |  3  |    1   |
|   2   |  3  |    1   |
|   3   |  t  |    1   |

应该不会给 Dijkstra 带来任何实际麻烦。

可以将其概括为更强有力的陈述：在 Dijkstra 评估之前正确计算顶点权重的任何图都将由 Dijkstra 正确处理，同时保留 Dijkstra 的时间性能。

【讨论】：

【解决方案2】：

Dijkstra 在负权重下工作正常的一个简单例子就是：

s -(-1)-> t

如果您在源 s 的这张图上运行 Dijkstra 算法，它将发现 t 作为最近邻并选择那个，然后我们构建了正确的最短路径树。

【讨论】：