我正在阅读有关压缩尝试的内容并阅读了以下内容：
压缩树是一棵树，它有 L 个叶子，并且树中的每个内部节点都至少有 2 个子节点。
然后作者写道，具有 L 个叶子的树使得每个内部节点都有至少 2 个子节点，最多有 L-1 个内部节点。我真的很困惑为什么这是真的。
有人可以提供一个归纳证明吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm trie compression induction
归纳证明：
我们将通过对L 的归纳来证明这一点 - 树中的叶子数。
base:一棵由一片叶子组成的树实际上是一棵只有根的树。它有 0 个内部节点，并且声明是正确的。
假设该声明对于具有 L 个叶子的压缩树是正确的。
步骤：令 T 为一棵有 L+1 片叶子的树。选择任意一片叶子，让它为 l，然后修剪它。
为了使树再次压缩 - 你需要让 l 的父亲成为一片叶子 [如果 l 的父亲有超过 2 个儿子，包括 l，请跳过这一步]。我们通过赋予它与 l 的兄弟相同的值并修剪兄弟来做到这一点。
现在你有一棵树 T'，叶子 L。
通过归纳：T' 最多有 L-1 个内部节点。
所以，T 有 L-1+1 = L 个内部节点，最多有 L+1 个叶子。
Q.E.D.
替代证明：
具有 L 个叶子的二叉树有 L-1 个内部节点 (1 + 2 + 4 + ... + L/2 = L-1)
因为在“最坏情况”你有一个二叉树[每个内部节点至少有 2 个儿子！]，那么你不能有超过 L-1 个内部节点！
【讨论】：
a=1, r=2。计算a_k（距根深度k的节点数）和S_{k-1}（该级别k的内部节点总和）的公式，得到S_k-1 = (1-2^(k-1))/(1-2) = 2^(k-1) -1和a_k = 1*2^(k-1)。
您应该尝试绘制一棵具有 L 个内部节点的树，其中每个节点都有 2 个子节点，并且有 L 个叶子。如果您明白为什么这是不可能的，就不难理解为什么它对 L-1 内部节点有效。
【讨论】：
好的，那我试试看。
首先定义树：
T_0 = { Leaf }
T_i = T_i-1 union { Node(c1, ..., cn) | n >= 1 && ci in T_i-1 }
Trees = sum T_i
现在，你的断言的（草图）证明。
很容易查到T_0
对于T_i：如果t \in T_i 它位于T_i-1 或新元素中。在前一种情况下，使用 IH。在后一种情况下检查断言（简单：如果cis 有L_i 叶子，t 有L = L_1 + ... + L_n 叶子。它也有不超过L_1 - 1 + L_2 - 1 + ... + L_n - 1 + 1 内部节点（由 IH 为孩子，+1 self)。因为我们假设每个内部节点至少有两个子节点（这是 trie 定义的事实），所以它不超过L_1 + l_2 + ... + L_n - 2 + 1 = L - 1）。
通过归纳，如果断言对于所有i 都适用于t in T_i，那么它适用于t in Trees。
【讨论】：