我知道如何使用公式 n(h) = n(h-1) + n(h-2) + 1 在高度为 h（包括外部节点）的 AVL 树中找到最小节点数，但是我想知道是否有一个公式可以只找到高度为 h 的 AVL 树的最小内部节点。
所以对于 n(3) = 4，如果我们只计算内部节点。 n(4) = 7，如果我们只计算内部节点。我可以把它画出来并计算内部节点，但是当你得到更大的 AVL 树时，它就会变得一团糟。
我似乎在这方面找不到任何东西，试图找到具有一致答案的模式只会导致数小时的挫败感。提前致谢。
【问题讨论】：
标签： data-structures binary-tree avl-tree
是的，有一个很好的计算方法。让我们从两个最简单的 AVL 树开始，它们有 0 阶和 1 阶：
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第一棵树没有内部节点，第二棵树有一个内部节点。这为我们提供了递归关系的基本情况：
从这里，我们注意到在 n+2 阶的 AVL 树中获得最少内部节点的方法是选择 n 和 n+1 阶的两棵树作为具有尽可能少的内部节点。结果树的内部节点数等于两个子树中的内部节点数，再加上一个新根。这意味着
应用这个循环给我们序列
0、1、2、4、7、12、20等
嘿——我们以前在什么地方见过这个吗？我们有！每个词加一个给我们
1、2、3、5、8、13、21等
这是斐波那契数列，向下移动了两个位置！所以我们的假设是
I(n) = F(n+2) - 1
你可以通过对 n 的归纳来证明这种情况。
这是获得此结果的另一种方法。想象一下，您采用高度为 n 的 AVL 树并删除所有叶子。你现在得到了一个高度为 n-1 的 AVL 树（证明这一点！），这棵树中的所有剩余节点都是原始树的内部节点。高度为 n 的 AVL 树中可能的最小节点数是 F(n+2)-1，与我们的结果相符。
【讨论】：