为什么这段代码的时间复杂度是 O(n) 而不是 O(n^2)？

Question

为什么这里的时间复杂度不是 O(n^2) 而是 O(n)？ 不是第一个循环是n次吗，&第二个也是一样的，所以变成了O(n*n)，这是怎么回事？

void f(int n){

     for( ; n>0; n/=2){
         int i;
         for(i=0; i<n; i++){
             printf("hey");
         }
     }
}

Answer 1

第一个循环不是n次吗，&第二个也是一样，所以变成O(n*n)。

以上陈述是错误的，因为：

1. 外循环没有运行n 次。 （外循环运行O(log n) 次，但在这种情况下无关紧要。）
2. 对于内部循环，循环数随着n 的值的变化而不同。

为了得到这段代码的时间复杂度，我们应该计算内部循环体被执行的总次数。

1. 显然，对于n 的每个值，内部循环的主体都会执行n 次。
2. n 的值由外循环的for 语句确定。它从作为函数参数给出的值开始，每次执行外循环体时减半。

所以正如 cmets 已经说过的，由于n + n/2 + n/4 + n/8 + ... = 2n，这个算法的时间复杂度是O(n)。

---

关于这方面的一些更具体的数学证明：

找到一个整数k，使得2^(k-1) < n <= 2^k。对于这个k：

1. 内部循环总数的下限是1 + 2 + 4 + ... + 2^(k-1) = 2^k - 1 >= n - 1 ∈ Ω(n)。
2. 内部循环总数的上限是1 + 2 + 4 + ... + 2^k = 2^(k+1) - 1 < 4n - 1 ∈ O(n)。

因此内部循环的总数为Θ(n)，以及O(n)。