如何计算（a / b）％c，其中a，b和c是非常大的数字[关闭]

Question

我有一个函数
f(x)=(1^1)*(2^2)*(3^3)*.....(x^x) 我必须计算(f(x)/(f(x-r)*f(r)))modulo c
我可以计算 f(x) 和 (f(x-r)*f(r))。 假设 f(x) 是 f(x-r)*f(r) 是 b。 c 是一个非常大的数字。 `` 所以我怎么计算(a/b)%c

Answer 1

1. 您的 f(x) 只是 ᴨ（PI 累积乘法）的平方

   • 这里很难写，所以我将定义 g(x0,x1) 代替
   • g(x0,x1)=x0*(x0+1)*(x0+2)*...*x1
   • 所以：
   • f(x)=g(1,x)^2

2. 计算h(x,r,c)=f(x)/(f(x-r)*f(r))%c

   • 当您将其重写为 g() 时，您会得到：
   • h(x,r,c)=((g(1,x)/(g(1,x-r)*g(1,r)))^2)%c
   • 现在尽可能简化（并降低幅度）
   • 所以最后计算sqr（不需要子结果）
   • 摆脱重复的therms
   • 有两个选项摆脱g(1,x-r)或g(1,r)
   • 选择更适合你的我会选择更大的
   • 所以如果(x-r>r) 那么：
   • h(x,r,c)=(g(x-r+1,x)/g(1,r)^2)%c
   • 其他：
   • h(x,r,c)=(g(r+1,x)/g(1,x-r)^2)%c

3. 一些数学调整

   • 您应该并行计算两个 therms a,b（来自 (a/b)%c）
   • 当两者都可以除以前几个素数中的任何一个时，然后将它们分开以保持较低的幅度
   • 类似::
   • `如果 ((a&1==0)&&(b&1==0)) { a>>=1; b>>=1； } // 除以素数 = 2 ... 这通常就足够了
   • 但如果您的震级非常大，那么您可能应该添加一些像 3,5,7,...
   • 但始终测量性能下降并在下降过多时停止

4. 如果x 很大而r 很小

   • 然后先计算b
   • 在计算时a
   • 除了质数之外，还要检查子结果​​是否也能被b整除
   • 如果是则将a除以b并将结果添加到最终除法结果中

5. 一些速度提升

   • 你可以计算部分a,b
   • 只有在展位的数量级大于某个阈值时才开始测试可分性
   • 你也可以让计算互相等待
   • 所以如果a>1000000 然后等到b 也这么大或完整
   • 并在反向时也这样做（如果b>100000 ....）
   • 阈值越大速度越快，但您会受到整数实现的限制
   • 如果使用 bigint，则应使用更小的阈值，然后将基数的位减半 ...

希望我没有犯一些愚蠢的数学错误......