找到椭圆的所有 4 个可能的法线答案

【问题标题】：Find all 4 possible normals to an ellipse找到椭圆的所有 4 个可能的法线
【发布时间】：2013-12-03 19:52:53
【问题描述】：

给定一个点 p 在一个轴向对齐的、以原点为中心的椭圆 E 之外，找到 E 的（最多）四个唯一法线em> 路过p。

这不是 Mathematica 问题。直接计算太慢；我愿意牺牲精度和准确性来换取速度。

我在网上搜索过，但我发现所有的计算都涉及过于复杂的计算，如果直接实施这些计算似乎缺乏我需要的性能。有没有更“编程”的方式来做到这一点，比如使用矩阵或将椭圆缩放成圆形？

【问题讨论】：

一个椭圆有无数条法线。你指的是哪4个？你能画出你要找的东西吗？
这个问题似乎是题外话，因为它是关于数学问题而不是关于编程。更适合math.stackexchange.com
@andand AFAIK，从椭圆上的某个点开始最多只能有 4 个法线。
图片有帮助...您的问题从未描述过该点与您感兴趣的特定法线之间的关系。
@TimurNuriyasov：不幸的是，这将归结为寻找椭圆的根。同样应用一些转换也无济于事。但是，如果您可以接受近似解，那么简单的牛顿法求解器将很快收敛。（编辑删除了关于椭圆曲线的那部分，因为它不是很准确）。

标签： math geometry computational-geometry ellipse

【解决方案1】：

假设椭圆E处于“标准位置”，中心在原点，轴平行于坐标轴：

    (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1   where a > b > 0

边界情况a=b 是圆形，其中法线只是通过中心（原点）的线，因此很容易找到。所以我们省略了对这些情况的讨论。

椭圆在任意点(x,y)的切线斜率可以通过隐式微分求得：

    dy/dx = -(b^2 x)/(a^2 y)

对于通过(x,y)和椭圆上指定点p = (u,v)的直线不是，当它的斜率为@987654331的负倒数时椭圆E的法线@：

    (y-v)/(x-u) * (-b^2 x)/(a^2 y) = -1       (N)

简化为：

    (x - (1+g)u) * (y + gv) = -g(1+g)uv  where g = b^2/(a^2 - b^2)

在这种形式中，我们认识到它是右矩形双曲线方程。根据椭圆和双曲线 (2,3,4) 之间有多少交点，我们有很多法线到 E 穿过 p。

通过反射对称性，如果假设p 在E 之外，我们可以将p 放在第一象限：

    (u/a)^2 + (v/b)^2 > 1    (exterior to E)
          u,v > 0            (1'st quadrant)

我们可能有u=0 或v=0 的边界情况，即点p 位于E 的轴上，但这些情况可能会简化为求解二次方，因为两个法线是（重合的）通过该轴的端点的线。我们暂时推迟对这些特殊情况的进一步讨论。

这是一个带有a=u=5,b=v=3 的插图，其中双曲线只有一个分支与E 相交，并且只有两条法线：

如果两个未知数中的两个方程组(x,y) 被简化为一个未知数中的一个方程，最简单的求根方法是a bisection method，但是了解一些关于根/交叉点的可能位置的信息将加快我们的搜索。第一象限的交点是E 到p 的最近点，同样第三象限的交点是E 到p 的最远点。如果点p 离短轴的上端点更近一点，双曲线的分支就会移动到一起，足以在第四象限中再创建两个交点。

一种方法是通过与 x 轴的交点参数化 E。从p 垂直于椭圆的线必须与长轴相交，长轴是有限区间[-a,+a]。我们可以测试通过p=(u,v) 和(z,0) 的直线的交点q=(x,y) 的上下交点，因为z 从-a 扫到+a，寻找椭圆和双曲线相交的地方。

更详细的：

1. Find the upper and lower points `q` of intersection of E with the
   line through `p` and `(z,0)` (amounts to solving a quadratic)

3. Check the sign of a^2 y(x-u) - b^2 x(y-v) at `q=(x,y)`, because it
   is zero if and only `q` is a point of normal intersection

一旦检测到符号发生变化的子区间（上部或下部），就可以对其进行细化以获得所需的精度。如果只需要适度的精度，则可能不需要使用更快的根查找方法，但即使需要它们，也有一个短的子区间来隔离一个根（或第四象限中的根对）将是有用的。

**更多来比较各种方法的收敛性**

【讨论】：

如果我理解正确的话，这个算法需要我在寻找导数符号变化的同时执行几次迭代。应该执行多少次迭代？如果它需要多次迭代，有什么比用牛顿法找到四次 c4x^4 + c3x^3 + c2x^2 + c1x + c0 = 0 的四个根更好（这里假设 mathpages.com/home/kmath505/kmath505.htm）？
这些都是好问题。二等分的收敛是缓慢但确定的，而牛顿的方法是快速但不确定的。因此，如果您需要（比如说）双精度答案，您可能希望从使用二分法（如概述）对根进行粗略分类开始，然后在根为“在仅包含该“单个”根的短时间间隔内隔离”。但是您的问题让我相信，需要简单的编码和适度的精度。
请注意，寻求的是 (N) 左侧的符号变化，而不是“导数符号变化”。如果将 (N) 相乘，您会发现它是 x 的四次多项式。也许我应该将此添加到我的答案中。
@TimurNuriyasov：我没有忘记这一点！我正在写一个详细的比较（根据 Kevin Brow/Mathpages）用牛顿法与我提出的二分法求解。
期待:)

【解决方案2】：

我必须解决与此类似的问题，用于 GPS 初始化。问题是：地球内部的一个点的纬度是多少，尤其是靠近中心的地方，它是单值的吗？有很多方法可以将 ECEF 笛卡尔坐标转换为大地纬度、经度和高度（查找“ECEF 到大地”）。我们使用一个快速的方法，每次迭代只有一次除法和 sqrt，而不是像大多数方法那样进行多次三角评估，但由于我在野外找不到它，所以我不能在这里给你。我将从 Lin 和 Wang 的方法开始，因为它只在迭代中使用除法。以下是距地球中心 100 公里范围内的点的椭球表面法线图（图中的北在上，实际上是 ECEF Z，而不是 Y）：

图形中心的星形“焦散”描绘了 WGS-84 椭球的曲率中心，因为纬度从两极到赤道是不同的。请注意，由于极地扁平化，两极的曲率中心位于赤道的另一侧，并且赤道的曲率中心比旋转轴更靠近表面。

无论线条在哪里交叉，该笛卡尔位置的纬度都不止一个。绿色圆圈显示我们的算法在哪里挣扎。如果您认为我在它们到达轴的地方切断了这些法线向量，那么对于此 SO 线程中考虑的问题，对于给定位置，您将拥有更多的法线。焦散区内有 4 个纬度/法线，外部有 2 个。

【讨论】：

【解决方案3】：

问题可以表示为三次方程的解给出 1、2 或 3 个实根.对于推导和封闭形式解决方案参见Geodesics on an ellipsoid of revolution 的附录 B。 1 和 3 解决方案之间的边界是 astroid。

【讨论】：