给定公钥找到点和椭圆曲线

Question

我正在尝试解决这个问题。知道公钥后，我想知道使用哪个点和椭圆曲线生成该公钥。

例如，给定这个 ECC 公钥：

04 6b fb ee c6 9d e7 2c 66 a6 68 ec e1 aa f1 a2 64 a3 c9 b2 88 fb 32 d0 59 e9 2c 3e 5d 5b d4 d7 b5 01 48 78 f4 47 9c 13 c8 83 d0 54 55 5c d9 0e cd 13 6e c4 cc 34 64 89 cd d6 4e 69 43 f3 33 86 4a b9 df e4 42 dc bf 8f 69 c1 9e 71 d0 35 ff 31 7f c0 32 fc 21 55 ca ea a6 5b 49 3d 19 1d 39 9a c0

如何知道哪个点和椭圆曲线用于生成该 ECC 公钥？

Answer 1

如果椭圆曲线是recommended elliptic curves for Federal Government use 之一，您可以轻松找出域参数(p,a,b,G,n,h)，其中G 是base point，公钥的位长会告诉您曲线名称。

EC 公钥是曲线上的一个点，如下所示：y^2 = x^3 + ax + b (mod p) 其中p 是质数模数。

根据ANSI X9.62，该点以压缩或未压缩形式表示为八位字节字符串。

所以您提到的示例公钥由 x 坐标和 y 坐标组成：

公钥=标签+x坐标+y坐标

未压缩的形式用tag = 0x04表示，压缩的形式用tag = 0x02或tag = 0x03（see section 2.2）表示

现在，示例公钥可以写成：

04
6bfbeec69de72c66a668ece1aaf1a264a3c9b288fb32d059e92c3e5d5bd4d7b5014878f4479c13c883d054555cd90ecd
136ec4cc346489cdd64e6943f333864ab9dfe442dcbf8f69c19e71d035ff317fc032fc2155caeaa65b493d191d399ac0

每个坐标的长度为 48 字节或 384 位。因此，示例公钥“似乎”来自 EC P-384 曲线。

Answer 2

您应该按概率顺序检查每条已知（命名）曲线。概率当然取决于情况，我不知道你从哪里检索到的点。

所以你执行以下操作：

1. 遍历所有你能找到的命名曲线；
2. 检查该点在曲线上是否有效，而不是无穷大。

现在，如果您这样做，您会发现这是 BrainpoolP384r1 曲线，而不是 NIST 曲线。

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好的，否则这个Java代码会烂掉：

import java.util.Enumeration;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

import org.bouncycastle.asn1.nist.NISTNamedCurves;
import org.bouncycastle.asn1.sec.SECNamedCurves;
import org.bouncycastle.asn1.teletrust.TeleTrusTNamedCurves;
import org.bouncycastle.asn1.x9.X962NamedCurves;
import org.bouncycastle.asn1.x9.X9ECParameters;
import org.bouncycastle.math.ec.ECPoint;
import org.bouncycastle.util.encoders.Hex;

public class CurveFinder {

    interface CurveRetriever {
        X9ECParameters getByName(String name);
        Enumeration<String> getNames();
    }

    public static void main(String[] args) {
        byte[] wd = Hex.decode("04 6b fb ee c6 9d e7 2c 66 a6 68 ec e1 aa f1 a2 64 a3 c9 b2 88 fb 32 d0 59 e9 2c 3e 5d 5b d4 d7 b5 01 48 78 f4 47 9c 13 c8 83 d0 54 55 5c d9 0e cd 13 6e c4 cc 34 64 89 cd d6 4e 69 43 f3 33 86 4a b9 df e4 42 dc bf 8f 69 c1 9e 71 d0 35 ff 31 7f c0 32 fc 21 55 ca ea a6 5b 49 3d 19 1d 39 9a c0".replaceAll("\\s+", ""));
        String name = findCurveName(wd);
        if (name == null) {
            System.out.println("Curve not found");
        } else {
            System.out.println("Curve: " + name);
        }
    }

    private static String findCurveName(byte[] wd) {
        List<CurveRetriever> retrievers = new LinkedList<>();
        retrievers.add(new CurveRetriever() {
            @Override
            public X9ECParameters getByName(String name) {
                return SECNamedCurves.getByName(name);
            }

            @Override
            public Enumeration<String> getNames() {
                return SECNamedCurves.getNames();
            }
        });
        retrievers.add(new CurveRetriever() {
            @Override
            public X9ECParameters getByName(String name) {
                return TeleTrusTNamedCurves.getByName(name);
            }
            @Override
            public Enumeration<String> getNames() {
                return TeleTrusTNamedCurves.getNames();
            }
        });
        retrievers.add(new CurveRetriever() {
            @Override
            public X9ECParameters getByName(String name) {
                return NISTNamedCurves.getByName(name);
            }
            @Override
            public Enumeration<String> getNames() {
                return NISTNamedCurves.getNames();
            }
        });
        retrievers.add(new CurveRetriever() {
            @Override
            public X9ECParameters getByName(String name) {
                return X962NamedCurves.getByName(name);
            }
            @Override
            public Enumeration<String> getNames() {
                return X962NamedCurves.getNames();
            }
        });
        for (CurveRetriever curveRetriever : retrievers) {
            String name = retrieveAndValidate(wd, curveRetriever);
            if (name != null) {
                return name;
            }
        }
        return null;
    }

    private static String retrieveAndValidate(byte[] wd,
            CurveRetriever retriever) {
        ECPoint decodedPoint = null;
        Enumeration<String> names = retriever.getNames();
        while (names.hasMoreElements()) {
            String name = names.nextElement();
            X9ECParameters curveParams = retriever.getByName(name);
            try {
                decodedPoint = curveParams.getCurve().decodePoint(wd);
            } catch (IllegalArgumentException e) {
                continue;
            }
            if (decodedPoint.isInfinity() || !decodedPoint.isValid()) {
                continue;
            }
            return name;
        }
        return null;
    }
}

显然，这段代码需要 Bouncy Castle 的轻量级 API。我不知道为什么我没有为 JCE 使用 Bouncy Castle 提供程序——我猜这个提供了对曲线的更多控制。