如何找到椭圆的方程

Question

我正在寻找使用圆锥的一般方程给定五个或六个点的椭圆方程： A x2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0。

起初我尝试使用六个点。这是我的python代码：

    import numpy as np
    def conic_section(p1, p2, p3, p4, p5, p6):
        def row(point):
            return [point[0]*point[0], point[0]*point[1], point[1]*point[1],                         
            point[0], point[1], 1]
        matrix=np.matrix([row(p1),row(p2),row(p3),row(p4),row(p5), row(p6)])
        b=[0,0,0,0,0,0]
        return np.linalg.solve(matrix,b)

    print conic_section(np.array([6,5]), np.array([2,9]), np.array([0,0]),         
    np.array([11, 5.5]), np.array([6, 7]), np.array([-1,-1]))

问题是这将返回解 [0,0,0,0,0,0]，因为我的等式右侧是零向量。

然后我尝试通过减去 F 并将其除以来更改圆锥：

A x2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0

A x2 + B xy + C y2 + D x + E y = -F

A' x2 + B xy + C' y2 + D' x + E' y = -1。

这不起作用的原因是，如果我的观点之一是 (0,0)，那么我最终会得到一个有一行零的矩阵，但等式的右手边会向量中的条目为 -1。换句话说，如果我的一个点是(0,0) - 那么“F”应该是0，所以我不能把它分开。

任何帮助将不胜感激。 谢谢。

Answer 1

您似乎在椭圆上有精确的点，不需要近似值，并以某种奇怪的方式将 Braikenridge-Maclaurin 构造用于圆锥截面。

五点(x[i],y[i]) 用这个显式方程确定椭圆 (mathworld page, eq. 8)

所以要找到椭圆方程，你可以为第一行的未成年人建立行列式的cofactor expansion。例如，系数A是从x1y1到右下角的子矩阵的行列式值，系数B是没有xiyi列的子矩阵的行列式取反值等等。

Answer 2

椭圆方程（没有平移和旋转）：

目标是在变量A 到F 中求解这个线性方程：

用途：

from math import sin, cos, pi, sqrt

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from numpy.linalg import eig, inv

# basis parameters of the ellipse
a = 7
b = 4

def ellipse(t, a, b):
    return a*cos(t), b*sin(t)

points = [ellipse(t, a, b) for t in np.linspace(0, 2*pi, 100)]
x, y = [np.array(v) for v in list(zip(*points))]

fig = plt.figure()
plt.scatter(x, y)
plt.show()

def fit_ellipse(x, y):
    x = x[:, np.newaxis]
    y = y[:, np.newaxis]
    D =  np.column_stack((x**2, x*y, y**2, x, y, np.ones_like(x)))
    S = np.dot(D.T, D)
    C = np.zeros([6,6])
    C[0, 2] = C[2, 0] = 2
    C[1, 1] = -1
    E, V = eig(np.dot(inv(S), C))
    n = np.argmax(np.abs(E))
    return V[:, n]

A, B, C, D, E, F = fit_ellipse(x, y)
K = D**2/(4*A) + E**2/(4*C) - F

# a, b
print('a:', sqrt(K/A), 'b:', sqrt(K/C))

输出：

a：6.999999999999998 b：4.0

见：

http://mathworld.wolfram.com/ConicSection.html https://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipse_(math%C3%A9matiques)#Forme_matricielle http://nicky.vanforeest.com/misc/fitEllipse/fitEllipse.html