如何找到从旋转椭圆中心到它的 4 个角度 4 extermaties

Question

我正在尝试找到一种算法来导出从旋转椭圆的中心到其末端的 4 个角度。也就是说，从中心到边界框与椭圆的直线相接触的点。

我已经弄清楚了如何使用以下方法获取边界框：

leftX/rightX  =  h± sqrt(a*a*cos(PI)*cos(PI) + b*b*sin(PI)*sin(PI))
topY/bottomY  =  k± sqrt(a*a*sin(PI)*sin(PI) + b*b*cos(PI)*cos(PI))

上面给了我边界框和：

左右点的x

顶点和底部的y

但我需要左右点的 x 和 y 以及顶部和底部的 x 和 y 来计算角度。 p>

我觉得我错过了一些简单但找不到的东西。

图片说明了边界框顶部的点。

Answer 1

设椭圆半轴为a, b，圆心为(cx, cy)，旋转角度为fi。那么参数t处的椭圆圆周坐标为：

 x = a * Cos(t) * Cos(fi) - b * Sin(t) * Sin(fi) + cx
 y = a * Cos(t) * Sin(fi) + b * Sin(t) * Cos(fi) + cy

为了得到极值点，我们可以通过t来区分坐标并将导数设置为零

 a * Sin(t) * Cos(fi) = - b * Cos(t) * Sin(fi)   //  dx/dt
 a * Sin(t) * Sin(fi)  =  b * Cos(t) * Cos(fi) //  dy/dt

 tg(t) = -b/a * Tg(fi)
 t(l,r)  = Pi * k + Atan(-b/a * Ttg(fi)  //left and right, k=0,1

 tg(t) = b/a * Ctg(fi)
 t(t,b) = Pi * k + Atan(b/a * Ctg(fi))  //top and bottom, k = 0,1

 ytop = a * Cos(t(t)) * Sin(fi) + b * Sin(t(t)) * Cos(fi) + cy
 and so on

由速成Delphi code生成的a: 200; b: 100; fi: Pi/6 CW;的真实例子