如果到平面上各个点的距离已知，则估计平面的方程答案

【问题标题】：Estimating equation for plane if distances to various points on it are known如果到平面上各个点的距离已知，则估计平面的方程
【发布时间】：2012-02-24 06:51:56
【问题描述】：

我知道从某个角度观察到平面上各个点的距离。我想仅根据这些信息（5 到 15 个不同的点，尽可能多）找到这个平面的方程。

稍后我将使用平面方程来估计到平面的距离应该在不同点；为了证明它是大致平坦的。

不幸的是，谷歌搜索并没有带来太多。 :(

【问题讨论】：

我相信这可能是我的问题的答案：jtaylor1142001.net/calcjat/Solutions/VPlanes/VP3Pts.htm
我假设您说的是 3D 平面。定义平面方程的方法有很多种。一般来说，定义一个平面只需要 3 个点。
@Azza：3 个已知点在平面（距离 0）。如果你在距离d0..d4 的平面上有 5 个点，你必须构造 5 个球体并找到一个接触所有 5 个球体的平面。更难。
@MSalters 我想：“我知道到平面上各个点的距离，因为它是从一个角度观察的。我想找到方程仅从该信息中获取该平面（5到15个不同的点，尽可能多）。“_表示所有点都在平面内，并且需要平面方程。
@EmileVictor：不，假设您在飞机上拥有{x,y,z} 3 个点。你只有x²+y²+z²（距离）。

标签： c++ math vector 3d

【解决方案1】：

如果您确实知道距离而不是坐标，那么这是不适定问题 - 有无限数量的平面具有任意数量的点给定距离原点的距离。

这很容易验证。让我们从一组给定的距离{D0..DN-1} 中取最短距离D0，并构造一个具有法线向量{D0,0,0} 的平面（长度为D0 的向量沿x 轴）。对于每个剩余长度，我们现在有无限数量的点将位于该平面中（在平面内围绕(D0,0,0) 点形成圆圈）。此外，我们可以将所有向量旋转任意角度，得到一个新的平面。

这是简单的 2D 图片（到一条线的距离；绘制起来更简单；））。

正如我们所见，D1..DN-1 > D0 的每个距离线上有两个点 - D1 和 D2 显示一个，这些距离的另外两个将放置在第四个象限（+x，-y）。此外，我们可以将直线绕原点旋转任意角度，并且仍然满足给定的距离。

【讨论】：

【解决方案2】：

我将跳过寻找最合适飞机的过程，它已在其他一些答案中处理过，并谈论其他内容。

“证明”将我们带入统计推断。这样做的方法是您做出一个正式的假设“表面是平坦的”，然后查看数据是否支持在某个置信水平上拒绝该假设。

所以你最终可以说“我什至没有 1% 的把握表面不是平坦的”——但你永远无法证明它是平坦的。

【讨论】：

【解决方案3】：

几何？听起来像是 math.SE 的工作！方程将采用什么形式？会是飞机吗？

我假设您想要一个准确的解决方案。

用几何找到绝对位置
在 C++ 中在 3 个维度中的 2 个维度中制作最佳拟合回归线。

【讨论】：

当 OP 实际上在平面内已经有 3 个以上的点时，这听起来像是过于复杂的解决方法。
我的理解是，OP 没有飞机，而是一个滑冰者，他想从中制造飞机？