所以我正在阅读此页面上的某些内容 (http://gamedeveloperjourney.blogspot.com/2009/04/point-plane-collision-detection.html)
作者提到
d = - D3DXVec3Dot(&vP1, &vNormal);
其中 vP1 是平面上的一个点，vNormal 是平面的法线。我很好奇这如何使您与世界原点的距离保持一致，因为结果将始终为 0。此外，为了清楚起见（因为我对平面方程的 d 部分仍然有些模糊），平面方程中的d是通过世界原点的直线到平面原点的距离吗？
【问题讨论】：
在一般情况下，点p 和平面之间的距离可以通过
<p - p0, normal>
<a, b> 是点积运算
<a, b> = ax*bx + ay*by + az*bz
其中p0 是平面上的一个点。
当n 为单位长度时，向量之间的点积和它是向量在法线上的投影的（有符号）长度
您报告的公式只是点 p 是原点时的特例。在这种情况下
distance = <origin - p0, normal> = - <p0, normal>
这个等式在形式上是错误的，因为点积是关于向量，而不是点......但在数字上仍然成立。写下你得到的明确公式
(0 - p0.x)*n.x + (0 - p0.y)*n.y + (0 - p0.z)*n.z
与
相同- (p0.x*n.x + p0.y*n.y + p0.z*n.z)
确实，存储平面的好方法是保存正常的n 和k = <p0, n> 的值，其中p0 是平面上的任意点（k 的值与您选择的点无关飞机）。
【讨论】：
结果并不总是零。只有当飞机经过原点时，结果才会为零。 （这里假设飞机没有经过原点。）
基本上，您会得到一条从原点到平面上某个点的线。 （即你有一个从原点到 vP1 的向量）。这个向量的问题在于它很可能是倾斜的，并且会到达飞机上的某个较远的地方，而不是飞机上最近的点。所以，如果你只是简单地取 vP1 的长度，你会得到一个太大的距离。
您需要做的是将 vP1 投影到您知道垂直于平面的某个向量上。那当然是 vNormal。所以取 vP1 和 vNormal 的点积，然后除以 vNormal 的长度，你就有了答案。 （如果他们好心给你一个已经是 1 级的 vNormal，那么就不需要除法了。）
【讨论】：
你可以用拉格朗日乘数来解决这个问题：
你知道平面上最近的点一定是这样的：
c = p + v
其中c 是最近点，v 是沿平面的向量（因此与法线n 正交）。您正在尝试找到具有最小范数（或范数平方）的c。所以你试图最小化dot(c,c)，以使v与n正交（因此dot(v,n) = 0）。
因此，设置拉格朗日：
L = dot(c,c) + lambda * ( dot(v,n) )
L = dot(p+v,p+v) + lambda * ( dot(v,n) )
L = dot(p,p) + 2*dot(p,v) + dot(v,v) * lambda * ( dot(v,n) )
对v（并设置为0）求导得到：
2 * p + 2 * v + lambda * n = 0
您可以通过在上面的等式中通过在n 的两边点积来解决 lambda
2 * dot(p,n) + 2 * dot(v,n) + lambda * dot(n,n) = 0
2 * dot(p,n) + lambda = 0
lambda = - 2 * dot(p,n)
再次注意dot(n,n) = 1 和dot(v,n) = 0（因为v 在平面内，而n 与其正交）。然后将lambda 代入以获取：
2 * p + 2 * v - 2 * dot(p,n) * n = 0
求解v得到：
v = dot(p,n) * n - p
然后将其插入c = p + v 以获取：
c = dot(p,n) * n
这个向量的长度是|dot(p,n)|，符号告诉你这个点是在原点的法向量方向，还是从原点的反方向。
【讨论】：