在 Haskell 中实现费马分解答案

【问题标题】：Implementing Fermat factorisation in Haskell在 Haskell 中实现费马分解
【发布时间】：2012-10-21 10:32:13
【问题描述】：

我已经为家庭作业设置了这个问题：

费马在 1643 年使用了另一种分解方法。适合寻找大因素而不是小因素。假设 n 是奇数数和 n = u × v。由此得出 n = x^2 − y^2 ，其中 x = (u + v)/2 和 y = (v − u)/2 都是整数（为什么？）。费马方法包括系统地寻找最小值 x 有一个 y 满足 x^2 − y^2 = n 且 0 ≤ y

习题 11. x 的最小可能值是多少，即我们应该从哪个值开始搜索？假设在某个阶段搜索范围缩小到 x ≥ p 和 y ≥ q。设 r = p^2 - q^2 - n。如果 r = 0，那么我们就完成了。如果 r 0 怎么办？为什么这种方法保证对所有奇数 n 终止？设计一个函数 search 以便 search p q r 执行搜索。因此设计一个函数 fermat 用于返回给定奇数的两个因子号码。

这是我目前所拥有的：

type Factors = (Integer, Integer)
search :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer -> Factors
search n p q r
   | r == 0    = (p-q,p+q)
   | r < 0     = search n a b c
   | otherwise = search n d b e
      where a = p+1 ; b = isqrt (q*q+2*(p-1)+1) ; c = (a*a-b*b-n) ;
             d = p-1 ; e = (d*d-b*b-n)

isqrt :: Integer -> Integer
isqrt = truncate . sqrt . fromInteger

fermat :: Integer -> Factors
fermat n
  | n == 0    = (0,0)
  | otherwise = search n p q r 
    where p = isqrt(n) ; q = 1 ; r = (p*p-q*q-n)

这适用于某些数字，例如 33（我得到 (3,11) 的预期），但不适用于其他数字，例如 99（我得到 (1,99) 而不是 (9,11)）。我想我需要对 q 的初始值使用不同的东西。一些提示将不胜感激。

我尝试将 q 的初始值更改为 isqrt( abs(p*p-n))，但这仍然使 99 为 (3, 33)，这是不正确的。

【问题讨论】：

你怎么知道它不起作用？（如，你得到什么输出，你期望什么？）
提示：以 121（或 169）为例。另一个提示：p 永远不会减少。

标签： haskell factorization

【解决方案1】：

正如 Daniel Fischer 在他的提示中所建议的那样，搜索从平方根开始并增加。这是算法，我将留给你翻译成 Haskell：

function fermat(n)
    s = floor(sqrt(n))
    u, v, r = 2*s+1, 1, s*s-n
    repeat
        if r > 0 then v, r = v+2, r-v
        else if r < 0 then u, r = u+2, r+u
        else return (u+v-2)/2, (u-v)/2

请注意，此算法返回的两个因子可能是质数，也可能不是质数；如果返回值为 n 和 1，则输入 n 是素数。我在my blog 讨论这个算法。请注意，费马算法是查找数字因数的最糟糕的方法之一；除了 n 是具有两个大小相似的因子的半素数的情况外，即使是试除法通常也更快。

【讨论】：