费马素性检验 Haskell

Question

我已经实现了以下两个函数来确定 n 是否为 fermat 素数（如果为真则返回 n，否则返回 -1），但它始终返回 -1，不知道为什么（gc 是函数taht计算gcd）

fermatPT :: Int -> Int
fermatPT n = fermatPT' n list
  where
    list = [a | a <- [1..n-1]]

-- | heper function
fermatPT' :: Int -> [Int] -> Int
fermatPT' n l      | gc (n, head l) == 1 && fermatTest n (head l) = fermatPT' n (tail l)
                   | null l                                       = n
                   | otherwise                                    = -1
                where
                  fermatTest n a = mod (a^(n-1)) n == 1

Answer 1

您的函数应返回一个布尔值，指示给定数字是否为素数。如果你这样做，你可以使用all 函数将其简单地定义为

fermatPT :: Integer -> Bool
fermatPT n = all (fermatTest n) (filter (\a -> gcd n a == 1) [1..n-1])
             where fermatTest n a = mod (a^(n-1)) n == 1

gcd 在 Prelude 中定义。

all 避免了要求您一次将测试应用于[1..n-1] 的一个元素的显式递归；它的定义是有效的

all _ [] = True
all p (x:xs) = p x && all p xs

---

请注意，mod (a ^ (n - 1)) n 效率低下，因为它可能需要计算一个非常大的数字，然后才能最终将其缩小到[0..n-1] 的范围内。相反，利用ab mod n == (a mod n * b mod n) mod n 的事实，并在每次乘法后减少值。一种实现方式（不是最快的，但很简单）：

modN :: Integer -> Integer -> Integer -> Integer
modN a 0 _ = 1
modN a b n = ((a `mod` n) * (modN a (b - 1) n)) `mod` n

然后使用

fermatTest n a = modN a (n-1) n == 1

请注意，您可以使用它（使用Int 而不是Integer）来正确实现fermatPT :: Int -> Bool；尽管输入仍将被限制为较小的整数，但它不会出现溢出。