费马小定理的实现问题答案

【问题标题】：Issue with implementation of Fermat's little therorm费马小定理的实现问题
【发布时间】：2012-12-27 22:25:07
【问题描述】：

这是我对费马小定理的实现。有谁知道为什么它不起作用？

以下是我遵循的规则：

设 n 为要测试素数的数字。
选择介于 2 和 n-1 之间的任意整数 a。
计算 a^n mod n.
检查 a^n 是否 = a mod n。

我的代码：

int low = 2;
int high = n -1;
Random rand = new Random();

//Pick any integer a between 2 and n-1.
Double a = (double) (rand.nextInt(high-low) + low);

//compute:a^n = a mod n
Double val = Math.pow(a,n) % n;

//check whether a^n = a mod n   
if(a.equals(val)){
return "True";
}else{
return "False";
}

这是一个小于 100000 的素数列表。每当我输入这些数字中的任何一个时，我得到的不是“真”，而是“假”。

The First 100,008 Primes

这就是我认为代码不起作用的原因。

【问题讨论】：

它在什么方面不起作用？
为什么rInt 和val Doubles 的值应该总是ints？
我首先将if(a.equals(val)){ return "True"; }else{ return "False"; } 替换为return a.equals(val); - 有两个原因。 1) 返回boolean 比返回String 简单得多，即True 或False（或者是true 或false 或..？）。 2）它更短。

标签： java primes

【解决方案1】：

在 java 中，double 的精度有限，大约为 15 到 17 位。这意味着虽然您可以计算 Math.pow(a,n) 的值，但对于非常大的数字，您无法保证一旦该值超过 15 位就会得到准确的结果。

如果 a 或 n 值较大，您的计算将超过该限制。例如 Math.pow(3, 67) 的值为 9.270946314789783e31，这意味着最后 3 之后的任何数字都将丢失。因此，在应用模运算后，您无法保证得到正确的结果 (example)。

这意味着您的代码实际上并没有测试您认为它所做的事情。这是浮点数工作方式所固有的，您必须更改保存值的方式才能解决此问题。你可以使用long，但是你会遇到溢出问题（long 不能保存一个大于2^64 - 1 的值，所以在3^67 的情况下你会遇到另一个问题。

一种解决方案是使用一个旨在保存任意大数字的类，例如BigInteger，它是Java SE API 的一部分。

【讨论】：

【解决方案2】：

正如其他人所指出的，夺取权力会很快溢出。例如，如果您选择一个数字 n 来测试小到 30 的素数，而随机数 a 是 20，则 20^30 = 大约 10^39，即 >> 2^90。（我取了 10^39 的 ln）。

你想使用BigInteger，它甚至有你想要的确切方法：

public BigInteger modPow(BigInteger exponent, BigInteger m)

"返回一个 BigInteger，其值为 (this^exponent mod m)"

另外，我认为测试 2 到 n-1 之间的单个随机数不会“证明”任何事情。您必须遍历 2 和 n-1 之间的所有整数。

【讨论】：

是的，基本筛比证明数字的素性（原始性？素性？）更有效。但是，通过弄清楚如何正确编写算法，可以学到很多关于编程和数学的知识。

【解决方案3】：

@evthim 即使你使用过 BigInteger 类的 modPow 函数，你也无法得到你正确选择的范围内的所有素数。为了进一步澄清问题，您将获得该范围内的所有质数，但您拥有的一些数字不是质数。如果您使用 BigInteger 类重新排列此代码。当您尝试所有 64 位数字时，一些非素数也会写入。这些数字如下；

341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, 2701, 2821, 3277, 4033, 4369, 4371, 4681, 5461, 6601, 7957, 83521, 84281, 8081, 84281, 8 , 11305, 12801, 13741, 13747, 13981, 14491, 15709, 15841, 16705, 18705, 18721, 19951, 23001, 23377, 25761, 29341, ... https://oeis.org/a001567

161038，215326，2568226，3020626，7866046，9115426，49699666，143742226，161292286，196116194，209665666，213388066，293974066，336408382，376366，666，566，566，666 2001038066，2138882626，2952654706，3220041826，.. . https://oeis.org/a006935

作为一种解决方案，通过从下面的链接获取这些数字的列表，确保您测试的数字不在此列表中。 http://www.cecm.sfu.ca/Pseudoprimes/index-2-to-64.html

C#的解决方案如下。

public static bool IsPrime(ulong number)
{
    return number == 2 
        ? true 
        : (BigInterger.ModPow(2, number, number) == 2 
            ? (number & 1 != 0 && BinarySearchInA001567(number) == false) 
            : false)
}

public static bool BinarySearchInA001567(ulong number)
{
    // Is number in list?
    // todo: Binary Search in A001567 (https://oeis.org/A001567) below 2 ^ 64
    // Only 2.35 Gigabytes as a text file http://www.cecm.sfu.ca/Pseudoprimes/index-2-to-64.html
}

【讨论】：